====== Локальная группа Ли ======
===== Локальная группа =====
__Определение 1.__ [[:glossary:topology|Топологическое пространство]] <latex>G</latex> называется **локальной группой**((local group)), если для некоторых пар элементов <latex>x,y\in G</latex> определено [[:glossary:operation:binary:algebraic|произведение]] <latex>xy\in G</latex>, причем выполнены следующие условия:
  - если определены произведения <latex>xy,(xy)z, yz, x(yz)</latex>, то имеет место равенство <latex>x(yz)=(xy)z</latex>;
  - если определено произведение <latex>xy</latex>, то для любой [[:glossary:topology:neighborhood|окрестности]] <latex>U</latex> элемента <latex>xy</latex> найдутся такие окрестности <latex>V</latex> и <latex>W</latex> элементов <latex>x</latex> и <latex>y</latex>, что для всех <latex>x'\in V</latex> и <latex>y'\in W</latex> произведение <latex>x'y'</latex> определено и лежит в <latex>U</latex>;
  - в <latex>G</latex> отмечен специальный элемент <latex>e</latex>, называемый **единицей**((identity)), обладающий следующим свойством:<WRAP>для всех <latex>x\in G</latex> произведение <latex>xe</latex> определено и <latex>xe=x</latex>;</WRAP>
  - если для пары <latex>x,y</latex> произведение определено и <latex>xy=e</latex>, то говорят, что <latex>x</latex> есть **левый обратный**((left inverse)) для <latex>y,\ x=y^{-1}</latex>. Если для <latex>x</latex> существует левый обратный <latex>x^{-1}</latex>, то для всякой окрестности <latex>U</latex> элемента <latex>x^{-1}</latex> существует такая окрестность <latex>V</latex> элемента <latex>x</latex>, что для всех <latex>y\in V</latex> существует левый обратный <latex>y^{-1}</latex>, лежащий в <latex>U</latex>.

===== Литература =====
  * [[https://www.ozon.ru/context/detail/id/4561752/?partner=lds1938|Понтрягин Л.С. «Непрерывные группы», УРСС, 2009.]]

{{tag>"топология" "локальная группа"}}