====== База топологии ======
===== Описание =====
__Определение 1.__ Пусть (X,\tau) --- [[:glossary:topology|топологическое пространство]]. Семейство [[:glossary:set|подмножеств]] \sigma=\{V_\beta\subseteq X\vert\beta\in\mathcal{B}}\} называется **базой топологии**((base of topology)) \tau, если:
- каждый [[:glossary:set|элемент]] \sigma [[:glossary:topology#топология_на_множестве|открыт]] в (X,\tau):\\ \sigma\subseteq\tau;
- каждое [[:glossary:topology|открытое множество]] (X,\tau) можно представить в виде объединения множеств из \sigma:\\ (\forall U\in\tau)(\exists\mathcal{C}_U\subseteq\mathcal{B}):U=\underset{\gamma\in\mathcal{C}_U}{\bigcup}V_\gamma.
__Пример 1.__ Рассмотрим топологическое пространство (\mathbb{R}^n,\tau_U) с [[:glossary:topology|обычной топологией]]. Множество \sigma=\{D_\varepsilon(x)\vert x\in\mathbb{R}^n,\varepsilon>0\} образует базу топологии \tau_U.
__Определение 2.__ База \sigma_0 [[:glossary:topology|топологии]] \tau называется **минимальной**((minimal)), если она содержится в любой другой базе \sigma топологии \tau.
__Пример 2.__ Рассмотрим произвольное топологическое пространство (X,\tau_D) с [[:glossary:topology|дискретной топологией]]. Все одноточечные множества \sigma_0=\{\{x\}\vert x\in X\} образуют базу топологии \tau_D. Очевидно, что \sigma_0 --- минимальная база топологии \tau_D.
__Теорема 1.__ Пусть (X,\tau) --- топологическое пространство и \sigma=\{V_\beta\subseteq X\vert\beta\in\mathcal{B}}\}\subseteq\tau. Тогда \sigma является базой топологии \tau, если и только если (\forall U\in\tau)(\forall x\in U)(\exists V\in\sigma): x\in V\subseteq U.
__Теорема 2.__ Пусть X --- произвольное [[:glossary:set|множество]] и \sigma=\{V_\beta\subseteq X\vert\beta\in\mathcal{B}\} --- некоторое семейство подмножеств X . Тогда существует топология \tau с базой \sigma, если и только если:
- X=\underset{\beta\in\mathcal{B}}{\bigcup}V_\beta;
- для любых элементов V,W из семейства \sigma и каждой точки x\in V\cap W найдется элемент U такой, что x\in U\subseteq V\cap W,(\forall V\in\sigma)(\forall W\in\sigma)(\forall x\in V\cap W)(\exists U\in\sigma):x\in U\subseteq V\cap W.
__Теорема 3.__ Если (X,\tau) и (X,\omega) --- топологические пространства и существует общая база \sigma для топологии \tau и топологии \omega, то \tau=\omega.
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/97679/?partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.]]
* Рохлин В.А., Фукс Д.Б. <<Начальный курс топологии. Геометрические главы>>, Наука, 1977.
* Телеман К. <<Элементы топологии и дифференцируемые многообразия>>, Мир, 1967.
{{tag>"топология" "база топологии" "дискретная топология" "минимальная база топологии" "обычная топология" "открытое множество" "топологическое пространство" "топология"}}