====== Множество действительных чисел ======
<wrap hide>проверено</wrap>
===== Аксиоматика =====
__Определение 1.__ Множество <latex>\mathbb{R}</latex> называется **множеством действительных**, или **вещественных чисел**((set of real numbers)), если выполнены следующие условия:
  - На <latex>\mathbb{R}</latex> определены операции [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|сложения]] <latex> + </latex> и [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|умножения]] <latex>\cdot</latex>, относительно которых множество <latex>\mathbb{R}</latex> является [[:glossary:field|полем]];
  - На <latex>\mathbb{R}</latex> определено [[:glossary:relation:order#отношение_линейного_порядка|отношение линейного порядка]] <latex>\leqslant</latex>, причем
    - для всех <latex>x,y,z\in\mathbb{R}</latex> если <latex>x\leqslant y</latex>, то <latex>x+z\leqslant y+z</latex>,
    - для всех <latex>x,y\in\mathbb{R}</latex> если <latex>0\leqslant x</latex> и <latex>0\leqslant y</latex>, то <latex>0\leqslant x\cdot y</latex>.
  - На <latex>\mathbb{R}</latex> справедлива **аксиома полноты**: Если <latex> X </latex> и <latex> Y </latex> --- непустые подмножества в <latex>\mathbb{R}</latex>, обладающие тем свойством, что для любых элементов <latex>x\in X</latex> и <latex>y\in Y</latex> выполнено <latex>x\leqslant y</latex>, то существует такое <latex>c\in\mathbb{R}</latex>, что <latex>x\leqslant c\leqslant y</latex> для любых <latex>x\in X</latex>, <latex>y\in Y</latex>.

__Замечание 1.__ Существуют другие аксиоматики для множества действительных чисел.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/3422686/?partner=lds1938|Зорич В.А. «Математический анализ», ч.1, МЦНМО, 2007.]]

{{tag>"теория множеств" "аксиома полноты" "вещественное число" "действительное число" "множество вещественных чисел" "множество действительных чисел"}}