====== Множество рациональных чисел ======
<wrap hide>проверено</wrap>
===== Определение =====
__Определение 1.__ Рассмотрим множество упорядоченных пар [[:glossary:set:integer|целых чисел]] <latex>\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*=\{(n,m)|n,m\in\mathbb{Z},m\neq 0\}</latex>. Две упорядоченные пары <latex>(n,m)</latex> и <latex>(s,t)</latex> будем считать эквивалентными, если <latex>nt=ms</latex>. Множество [[:glossary:relation:equivalence|классов эквивалентности]] на <latex>\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*</latex> обозначим через <latex>\mathbb{Q}</latex>. Определим на <latex>\mathbb{Q}</latex> операции [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|сложения]] <latex> + </latex> и [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|умножения]] <latex>\cdot</latex> по правилу:
  - <latex>\overline{(n,m)}\cdot\overline{(s,t)}=\overline{(ns,mt)}</latex>,
  - <latex>\overline{(n,m)}+\overline{(s,t)}=\overline{(nt+ms,mt)}</latex>,
где <latex>\overline{(n,m)}</latex> обозначает класс эквивалентности элемента <latex>(n,m)</latex>.
Множество <latex>\mathbb{Q}</latex> с указанными операциями будем называть **полем рациональных чисел**((field of rationals)).

__Предложение 1.__ Множество <latex>\mathbb{Q}</latex> с операциями сложения <latex> + </latex> и умножения <latex>\cdot</latex> является [[:glossary:field|полем]].

__Замечание 1.__ Поле рациональных чисел <latex>\mathbb{Q}</latex> является [[:glossary:field:quotient|полем частных]] кольца целых чисел <latex>\mathbb{Z}</latex>.

__Замечание 2.__ Как правило вместо  <latex>(n,m)</latex> пишут <latex>\frac{n}{m}</latex>.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/3422686/?partner=lds1938|Зорич В.А. «Математический анализ», ч.1, МЦНМО, 2007.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]

{{tag>"теория множеств" "множество рациональных чисел" "поле частных"}}