====== Мощность множества ======
проверено
===== Равномощные множества =====
__Определение 1.__ Будем говорить, что [[:glossary:set|множество]] A **равномощно**((equipollent)) множеству B , если существует [[:glossary:mapping|биективное отображение]] A\rightarrow B.
__Предложение 1.__ Отношение равномощности множеств является [[:glossary:relation:equivalence|отношением эквивалентности]].
__Пример 1.__ Сопоставим каждому натуральному числу n число 2n, что определяет взаимно однозначное соответствие между [[:glossary:set:integer:positive|множеством натуральных чисел]] \mathbb{N} и множеством четных натуральных чисел. То есть множество \mathbb{N} равномощно своему подмножеству четных натуральных чисел.
__Определение 2.__ Класс эквивалентности множества A называется **мощностью**((cardinal number)) A и обозначается через \vert A\vert или \textrm{card}~A.
__Пример 2.__ Мощностью любого конечного множества можно считать число его элементов.
__Определение 3.__ Будем говорить, что мощность множества A меньше либо равна мощности множества B , и писать |A|\leqslant|B|, если существует инъективное отображение A\rightarrow B.
__Теорема (Кантора-Бернштейна).__ Если для множеств A и B имеем |A|\leqslant|B| и |B|\leqslant|A|, то |A|=|B|.
__Определение 4.__ Если множество S равномощно [[:glossary:set:integer:positive|множеству натуральных чисел]], то S называется **счетным**((countable)).
__Пример 2.__ Множество [[:glossary:field:extension:algebraic#алгебраические_элементы|алгебраических чисел]] счетно.
===== Литература =====
* Бурбаки Н. «Теория множеств», Либроком, 2010.
* Гордон Е.И., Полотовский Г.М. «Мощность бесконечных множеств», Издательство ННГУ, 1998.
{{tag>"теория множеств" "мощность множества" "равномощные множества" "счетное множество" "теорема кантора-бернштейна"}}