====== Аффинное алгебраическое множество ====== ===== Определение ===== __Определение 1.__ Пусть \textbf{A}^n --- n-мерное [[:glossary:space:affine|аффинное пространство]] над [[:glossary:field|полем]] F, и пусть F[T_1,\ldots,T_n] --- [[:glossary:ring:polynomial|кольцо многочленов]] от n переменных над F. Для произвольного подмножества S\subset F[T_1,\ldots,T_n] пусть Z(S)=\{P\in\textbf{A}^n\vert f(P)=0~\forall f\in S\} --- множество общих нулей подмножества S. Подмножество X\subset\textbf{A}^n называется **аффинным алгебраическим множеством**((affine algebraic set)), если X=Z(S) для некоторого S\subset F[T_1,\ldots,T_n]. Вместо множества S достаточно рассмотреть [[:glossary:ring:commutative:ideal|идеал]] (S)\triangleleft F[T_1,\ldots,T_n], порожденный S, поскольку Z((S))=Z(S). Более того, можно ограничиться конечными системами множеств S, так как всякий идеал кольца A является [[:glossary:module:free|конечно порожденным]]((Данное утверждение составляет теорему Гильберта о базисе.)), и в качестве S можно взять множество образующих идеала. __Пример 1.__ Точка a=(a_1,\ldots,a_n)\in\textbf{A}^n является аффинным алгебраическим множеством, поскольку является множеством нулей идеала (T_1-a_1,\ldots,T_n-a_n) кольца многочленов F[T_1,\ldots,T_n]. __Пример 2.__ Окружность S^1=\{(x,y)|x^2+y^2=1\} --- аффинное алгебраическое множество в \textbf{A}^2, так как является можеством нулей многочлена T_1^2+T_2^2-1. Заметим также, что Z является [[:glossary:mapping|функцией]], отображающей подмножества из F[T_1,\ldots,T_n] в аффинные алгебраические множества. Обратно, можно ввести функцию I, отображающую подмножества из \textbf{A}^n в идеалы кольца F[T_1,\ldots,T_n], полагая I(X)=\{f\in F[T_1,\ldots,T_n]\vert f(P)=0~\forall P\in X\} для произвольного X\in\textbf{A}^n. ===== Регулярные функции ===== __Определение 2.__ Пусть X\subset\textbf{A}^n --- аффинное алгебраическое множество, I(X)=\{f\in F[T_1,\ldots,T_n]\vert f(P)=0~\forall P\in X\} --- соответствующий ему идеал. [[:glossary:ring|Факторкольцо]] F[X]=F[T_1,\ldots,T_n]/I(X) называется координатным кольцом аффинного алгебраического множества X, или **аффинным координатным кольцом** множества X. Элементы кольца F[X] называются **регулярными функциями**((regular function)) на X. __Пример 3.__ Координатным кольцом точки (см. пример 1) является поле F, так как F[T_1,\ldots,T_n]/(T_1-a_1,\ldots,T_n-a_n)\cong F. __Определение 3.__ Аффинное алгебраическое множество X называется **неприводимым**((irreducible)), если из того, что X=X_1\cup X_2, где X_1 и X_2 --- аффинные алгебраические множества, следует, что X_1=\emptyset или X_2=\emptyset. __Пример 4.__ Аффинные алгебраические множества из примеров 1 и 2 неприводимы. __Предложение 1.__ Неприводимые аффинные алгебраические множества находятся во [[:glossary:mapping|взаимно однозначном]] соответствии с [[:glossary:ring:commutative:ideal:prime|простыми идеалами]] кольца F[T_1,\ldots,T_n]. __Пример 5.__ Множество нулей многочлена f=T_1T_2 кольца F[T_1,T_2] приводимо, так как идеал (T_1T_2) не прост. ===== Свойства ===== __Предложение 2.__ Пусть F --- [[:glossary:field:algebraically:closed|алгебраически замкнутое поле]]. Тогда - если S_1\subset S_2 --- подмножества в A, то Z(S_1)\supset Z(S_2); - если X_1\subset X_2 --- подмножества в \textbf{A}^n, то I(X_1)\supset I(X_2); - для любых двух подмножеств X_1,X_2 из \textbf{A}^n имеет место соотношение I(X_1\cup X_2)=I(X_1)\cap I(X_2); - для любого идеала \mathfrak{a}\subset F[T_1,\ldots,T_n] имеем I(Z(\mathfrak{a}))=\sqrt{\mathfrak{a}}, где \sqrt{\mathfrak{a}} --- [[:glossary:ring:ideal:radical|радикал идеала]] \mathfrak{a}; - для любого подмножества X\subset\textbf{A}^n имеем Z(I(X))=\overline{X}, где \overline{X} --- [[:glossary:topology:point|замыкание]] X в \textbf{A}^n. __Предложение 3.__ Пусть поле F алгебраически замкнуто, тогда между аффинными алгебраическими множествами в \textbf{A}^n и [[:glossary:ring:ideal:radical|радикальными идеалами]] кольца F[T_1,\ldots,T_n] существует взаимно однозначное соответствие, заданное отображениями Y\mapsto I(Y) и \mathfrak{a}\mapsto Z(\mathfrak{a}). ===== Теорема Гильберта о нулях ===== __Предложение 4. (**Теорема Гильберта о нулях**)__ Пусть F --- алгебраически замкнутое поле, \mathfrak{a} --- идеал в кольце F[T_1,\ldots,T_n] и f\in F[T_1,\ldots,T_n] --- многочлен, обращающийся в нуль во всех точках из Z(\mathfrak{a}). Тогда f^r\in\mathfrak{a} для некоторого [[:glossary:set:integer|целого числа]] r\geqslant 0. ===== Литература ===== * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/105336/?partner=lds1938|Хартсхорн Р. «Алгебраическая геометрия», Мир, 1981.]] * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/3422196/?partner=lds1938|Шафаревич И.Р. «Основы алгебраической геометрии», МЦНМО, 2007.]] {{tag>"алгебраическая геометрия" "аффинное алгебраическое множество" "аффинное координатное кольцо" "кольцо многочленов"}}