====== Алгебра множеств ======
<wrap hide>проверено. мало собственно, про алгебру множеств. еще неплохо бы обозвать операции.</wrap>
===== Операции над множествами =====
Пусть <latex> A </latex> и <latex> B </latex> --- произвольные [[:glossary:set|множества]].

__Определение 1.__ Под **универсумом**((universe)) <latex> U </latex> понимают множество, включающее в себя все множества в данном контексте.

__Определение 2.__ **Пересечением**((intersection)) множеств <latex> A </latex> и <latex> B </latex> называется множество всех таких элементов <latex> x </latex>, которые лежат как в множестве <latex> A </latex>, так и в множестве <latex> B </latex>, то есть <latex>A\cap B=\{x\vert x\in A\wedge x\in B\}</latex>.
{{ :glossary:set:cap.jpg |}}

__Определение 3.__ **Объединением**((union)) множеств <latex> A </latex> и <latex> B </latex> называется множество всех таких элементов <latex> x </latex>, которые лежат в множестве <latex> A </latex> или в множестве <latex> B </latex>, то есть <latex>A\cup B=\{x\vert x\in A \vee x\in B\}</latex>.
{{ :glossary:set:cup.jpg |}}

__Определение 4.__ **Разностью**((difference)) множеств <latex> A </latex> и <latex> B </latex> называется множество всех таких элементов <latex> x </latex>, которые лежат в множестве <latex> A </latex>, но не лежат в <latex> B </latex>, то есть <latex>A\setminus B=\{x\vert x\in A\wedge x\not\in B\}</latex>.
{{ :glossary:set:div.jpg |}}

__Определение 5.__ **Симметрической разностью**((symmetric difference)) множеств <latex> A </latex> и <latex> B </latex> называется множество всех таких элементов <latex> x </latex>, которые принадлежат ровно одному из множеств <latex> A </latex> и <latex> B </latex>, то есть  <latex>A\vartriangle B=\{x\vert (x\in A\wedge x\not\in B) \vee (x\in B\wedge x\not\in A) \}</latex>.
{{ :glossary:set:sym.jpg |}}

__Определение 6.__ **Дополнением**((complement)) множества <latex> A </latex> называется множество всех таких элементов <latex> x </latex> из универсума, которые не лежат в множестве <latex> A </latex>, то есть <latex>\overline{A}=\{x\in U\vert x\not\in A\}</latex>.

__Определение 7.__ Два множества <latex>A</latex> и <latex>B</latex> называются непересекающимися, если их пересечение пусто, т.е. <latex>A\cap B=\emptyset</latex>.
===== Свойства операций =====
__Предложение 1.__ Справедливы следующие свойства
  - <latex>A\cup A=A,\ A\cap A=A</latex>;
  - <latex>A\cup B=B\cup A,\ A\cap B=B\cap A</latex>;
  - <latex>(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C),\ (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)</latex>;
  - <latex>(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C),\ (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C)</latex>;
  - <latex>\overline{\overline{A}}=A</latex>;
  - <latex>\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B},\ \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}</latex>;
  - <latex>(A\cup\overline{A})\cap B=B,\ (A\cap\overline{A})\cup B=B</latex>.
===== Алгебра множеств =====
__Определение 7.__ **Алгеброй множеств**((algebra of sets)) называется пара <latex>(M,\Omega)</latex>, где <latex> M </latex> --- некоторая совокупность множеств, а <latex>\Omega</latex> --- набор операций над множествами. Обычно полагают, что <latex>M=\mathcal{P}(U)</latex> --- множество всех подмножеств универсума <latex> U </latex>, а в качестве <latex>\Omega</latex> берут рассмотренные выше операции <latex>\cap,\ \cup,\ \overline{\phantom{A}}</latex>.

===== Литература =====
  * Верещагин Н.К., Шень А. «Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Начала теории множеств», МЦНМО, 2008.
  * Ван дер Варден Б.Л. «Алгебра», Наука, 1976.

{{tag>"теория множеств" "объединение множеств" "пересечение множеств" "разность множеств" "симметрическая разность"}}