====== Полугруппа ======
<wrap hide>проверено</wrap>
===== Определение =====
__Определение 1.__ Пара <latex>(X,\ast)</latex>, сосотящая из [[:glossary:set|множества]] <latex>X</latex> и [[:glossary:operation:binary:algebraic|бинарной алгебраической операции]] <latex>\ast</latex> называется **полугруппой**((semigroup)), если операция <latex>\ast</latex> [[:glossary:operation:binary:algebraic|ассоциативна]], то есть <WRAP centeralign><latex>(x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)</latex> для <latex>\forall x,y,z\in X</latex>.</WRAP>

Другими словами полугруппа --- это ассоциативный [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|группоид]].

__Пример 1.__ [[:glossary:set:integer:positive|Множество натуральных чисел]] <latex>(\mathbb{N},+)</latex> является полугруппой, так как операция сложения на <latex>\mathbb{N}</latex> ассоциативна.

__Пример 2.__ [[:glossary:set:real|Множество действительных чисел]] <latex>(\mathbb{R},\cdot)</latex>, является полугруппой.

__Определение 2.__ Пусть <latex>(X,\ast)</latex> --- полугруппа. Подмножество <latex>Y\subset X</latex> называется **замкнутым относительно операции**((closed under operation)) <latex>\ast</latex>, если <latex>x\ast y\in Y</latex> для всех <latex>x,y\in Y</latex>.

__Определение 3.__ Пусть <latex>Y\subset X</latex>. Пара <latex>(Y,\ast)</latex> называется **подполугруппой**((subsemigroup)) полугруппы <latex>(X,\ast)</latex>, если <latex>Y</latex> замкнуто относительно операции <latex>\ast</latex>.

__Пример 3.__ Множество натуральных чисел <latex>(\mathbb{N},\cdot)</latex> является подполугруппой полугруппы <latex>(\mathbb{R},\cdot)</latex>.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]
  * Курош А.Г <<Общая алгебра>>, Наука, 1974.

{{tag>"абстрактная алгебра" "бинарная алгебраическая операция" "группоид" "замкнутость относительно операции" "подполугруппа" "полугруппа"}}