====== Радикал Джекобсона ====== ===== Левый радикал Джекобсона ===== __Определение 1.__ **Левым радикалом Джекобсона**((left Jacobson radical)) J_l(R) [[:glossary:ring|ассоциативного кольца]] R называется совокупность элементов из R, которые аннулируют все [[:glossary:module:irreducible|неприводимые левые]] R[[:glossary:module:irreducible|-модули]], или само кольцо, если неприводимых левых R-модулей не существует. Если A(M) обозначает [[:glossary:module:faithful|аннулятор]] левого модуля M, то по определению J_l(R)=\underset{M}{\bigcap}A(M), где M пробегает все возможные неприводимые левые R-модули. Поскольку аннуляторы A(M) --- [[:glossary:ring:ideal|двусторонние идеалы]] в R((см. [[:glossary:module:faithful|предложение 1]])), то J_l(R) является двусторонним идеалом. __Теорема 1.__ J_l(R)=\underset{\rho}{\bigcap}(\rho:R), где \rho пробегает все [[:glossary:ring:ideal#левый_идеал|регулярные максимальные левые идеалы]] кольца R, а (\rho:R) --- наибольший двусторонний идеал из R, лежащий в \rho. Пусть J_l(R)=\underset{M}{\bigcap}A(M) --- левый радикал Джекобсона, тогда M --- неприводимый левый R-модуль, поэтому((см. [[:glossary:module:irreducible|предложение 1]])) M=R/\rho для некоторого регулярного максимального левого идеала. В этом случае A(M) состоит из таких элементов x\in R, что x(R/\rho)=0 или, что то же самое, xR\subseteq\rho, то есть x\in(\rho:R)((см. [[:glossary:ring:ideal|определение 5]])). Обратно, пусть x\in(\rho:R), тогда xR\subseteq\rho, поэтому на фактормодуле R/\rho элемент x действует тривиально((это действие определено в [[:glossary:module|примере 2]])), а значит, x\in A(M). Таким образом, A(M)=(\rho:R) для некоторого регулярного максимального левого идеала. Кроме того (\rho:R) двусторонний, так как A(M) двусторонний. Заметим, что из регулярности \rho следует, что (\rho:R)\subseteq\rho, так как найдется a\in R такое, что x-xa\in\rho для всех x\in(\rho:R). Но если x\in(\rho:R), то xa\in\rho, а значит, x\in\rho. Остается показать, что (\rho:R) --- максимальный двусторонний идеал, содержащийся в \rho. Пусть \rho_1 --- двусторонний идеал кольца R, содержащийся в \rho. Тогда \rho_1R\subseteq\rho_1\subseteq\rho, то есть \rho_1\subseteq(\rho:R). \blacksquare __Лемма.__ Пусть R --- ассоциативное кольцо, тогда собственный регулярный левый идеал \rho\subset R содержится в некотором максимальном левом идеале \rho_0, причем \rho_0 регулярен. Пусть \rho --- левый регулярный идеал, то есть \{x-xa|x\in R\}\subseteq\rho для некоторого a\in R. Рассмотрим множество \mathfrak{R} всех собственных левых идеалов, содержащих \rho. Оно частично упорядочено. Кроме того, никакой идеал \rho_1\in\mathfrak{R} не содержит a, иначе Ra\in\rho_1, и R=\rho_1. Поэтому \mathfrak{R} индуктивно упорядочено, и по лемме Цорна существует максимальный собственный левый идеал \rho_0, содержащий \rho. Очевидно, он регулярен, так как \{x-xa|x\in R\}\subseteq\rho\subseteq\rho_0. __Теорема 2.__ Пусть R --- ассоциативное кольцо и J_l(R) его левый радикал Джекобсона, тогда - идеал J_l(R) [[:glossary:ring:ideal:quasi-regular|лево-квазирегулярен]]; - если \rho --- лево-квазирегулярный левый идеал кольца R, то \rho\subseteq J_l(R). 1. Обозначим \underset{\rho}{\bigcap}\rho, где \rho пробегает все регулярные максимальные левые идеалы кольца R, через \tau. Согласно теореме 1, J_l(R)=\underset{\rho}{\bigcap}(\rho:R), где \rho пробегает все регулярные максимальные левые идеалы кольца R, и (\rho:R)\subseteq\rho, откуда J_l(R)\subseteq\tau. Покажем, что множество \rho_x=\{y+yx|y\in R\} для произвольного x\in\tau совпадает с R. Очевидно, что \rho_x --- левый идеал в R. Более того, \rho_x регулярный левый идеал, так как для любого y\in R элемент y-y(-x) лежит в \rho_x. Предположим, что \rho_x собственный, тогда он содержится в некотором максимальном левом идеале \rho_*, который является регулярным. Поэтому в частности x\in\rho_*, откуда yx\in\rho_* для любого y\in R. Поскольку y+yx\in\rho_x\subseteq\rho_*, то y\in\rho_*, то есть \rho_*=R --- противоречие. Итак, мы показали, что \{y+yx|y\in R\}=R. Тогда найдется такой y\in R, что y+yx=-x, то есть x+y+yx=0 для произвольно выбранного x\in\tau. Лево-квазирегулярность \tau, а значит, и J_l(R), доказана. 2. Пусть найдется лево-квазирегулярный левый идеал \rho, не содержащийся в J_l(R). Это означает, что \rho\not\subset A(M), то есть \rho M\neq0 для некоторого неприводимого R-модуля M. Тогда можно выбрать m\in M, чтобы \rho m\neq0. Поскольку \rho m --- ненулевой R-подмодуль в неприводимом модуле M, то \rho m=M. Следовательно, rm=-m для некоторого r\in\rho. В силу того, что \rho --- лево-квазирегулярный, для выбранного ранее r\in\rho найдется такой a\in R, что a+r+ar=0. Тогда 0=(a+r+ar)m=am+rm+arm=am-m-am=-m, откуда \rho m=0. Получили противоречие, которое доказывает, что \rho\subseteq J_l(R). \blacksquare __Теорема 3.__ J_l(R)=\underset{\rho}{\bigcap}\rho, где \rho пробегает все максимальные регулярные левые идеалы кольца R. Это прямое следствие доказательства теоремы 2. Действительно, из п.1 доказательства следует, что \underset{\rho}{\bigcap}\rho лево-квазирегулярный идеал, поэтому \underset{\rho}{\bigcap}\rho\subseteq J_l(R). Из теоремы 1 следует обратное включение J_l(R)\subseteq\underset{\rho}{\bigcap}\rho((см. п.1 доказательства теоремы 2)). \blacksquare __Следствие 1.__ J_l(R) --- единственный максимальный лево-квазирегулярный левый идеал в R. ===== Правый радикал Джекобсона ===== __Определение 2.__ **Правым радикалом Джекобсона**((right Jacobson radical)) J_r(R) ассоциативного кольца R называется совокупность элементов из R, которые аннулируют все [[:glossary:module:irreducible|неприводимые правые]] R[[:glossary:module:irreducible|-модули]], или само кольцо, если неприводимых правых R-модулей не существует. Если A(M) обозначает [[:glossary:module:faithful|аннулятор]] правого модуля M, то по определению J_r(R)=\underset{M}{\bigcap}A(M), где M пробегает все возможные неприводимые правые R-модули. Поскольку аннуляторы A(M) --- [[:glossary:ring:ideal|двусторонние идеалы]] в R((см. [[:glossary:module:faithful|предложение 1]])), то J_r(R) является двусторонним идеалом. __Теорема 4.__ J_r(R)=\underset{\rho}{\bigcap}(\rho:R), где \rho пробегает все [[:glossary:ring:ideal#правый_идеал|максимальные регулярные правые идеалы]] кольца R, а (\rho:R) --- наибольший двусторонний идеал из R, лежащий в \rho. __Теорема 5.__ J_r(R)=\underset{\rho}{\bigcap}\rho, где \rho пробегает все максимальные регулярные правые идеалы кольца R. __Теорема 6.__ Пусть R --- ассоциативное кольцо и J_r(R) его правый радикал Джекобсона, тогда - идеал J_r(R) [[:glossary:ring:ideal:quasi-regular|право-квазирегулярен]]; - если \rho --- право-квазирегулярный правый идеал кольца R, то \rho\subseteq J_r(R). __Следствие 2.__ J_r(R) --- единственный максимальный право-квазирегулярный правый идеал в R. ===== Радикал Джекобсона ===== __Предложение 1.__ Пусть R --- ассоциативное кольцо, тогда J_l(R)=J_r(R). Заметим еще раз, что J_l(R) и J_r(R) --- двусторонние идеалы. Поэтому из следствия 1 и [[:glossary:ring:ideal:quasi-regular|предложения 3]] следует, что J_l(R) --- право-квазирегулярный правый идеал, а значит, по следствию 2 J_l(R)\subseteq J_r(R). Аналогично из [[:glossary:ring:ideal:quasi-regular|предложения 4]] и следствий 1 и 2 имеем обратное включение J_r(R)\subseteq J_l(R). \blacksquare __Определение 3.__ Идеал J(R)=J_l(R)=J_r(R) называется **радикалом Джекобсона**((Jacobson radical)) или **квазирегулярным радикалом**((quasi-regular radical)) ассоциативного кольца R. __Предложение 2.__ Если A --- идеал ассоциативного кольца R, то J(A)=J(R)\cap A. Докажем сначала, что идеал I полупростого кольца R полупрост. Пусть J(I)\neq0, тогда I_1=RJ(I) --- левый идеал кольца R. Заметим, что I_1\neq 0, иначе RJ(I)=0, то есть J(I) --- нильпотентный левый идеал в R и по [[:glossary:ring:ideal:nilpotent|следствию 1]] J(I)\subseteq J(R)=0. По той же причине I_1^2\neq 0. Но I_1^2=RJ(I)RJ(I)\subseteq IJ(I)\subseteq J(I). Таким образом левый идеал I_1^2 в R содержит квазирегулярные элементы, поэтому в силу полупростоты I_1^2=0 --- противоречие с тем, что J(I)\neq 0. Идеал J(R)\cap A по теореме 3 состоит из лево-квазирегулярных элементов, то есть для любого a\in J(R)\cap A найдется a'\in R такой, что a+a'+a'a=0. Так как a\in A и a'a\in A, то a'=-a-a'a\in A. Следовательно, a лево-квазирегулярен в A, откуда J(R)\cap A\subseteq J(A). Обратно, так как J(R) --- двусторонний идеал, то каноническая проекция \pi\colon R\rightarrow R/J(R) является гомоморфизмом колец. Образ идеала A, \pi(A)=A/A\cap J(R) --- идеал в R/J(R). Из того, что R/J(R) полупросто (по п.1 теоремы 7) следует, что \pi(A) полупросто. Тогда \pi(J(A))=0, то есть J(A)\subseteq A\cap J(R). \blacksquare __Теорема 7.__ Правило J, сопоставляющее ассоциативному кольцу R его радикал Джекобсона J(R), является [[:glossary:ring:radical|радикалом]](в смысле Куроша), то есть выполнено: - J(J(R))=J(R) - J(R/J(R))=0 - для любого [[:glossary:morphism:ring|гомоморфизма ассоциативных колец]] \varphi\colon R\rightarrow S выполнено включение \varphi(J(R))\subseteq J(\varphi(R)) 1. Равенство J(J(R))=J(R) следует из предложения 2, если положить A=J(R). 2. Каноническая проекция R\rightarrow R/J(R) каждому максимальному регулярному левому идеалу \rho\subset R ставит в соответствие максимальный левый идеал \overline{\rho}\subseteq R/J(R), поскольку \rho\supset J(R). Идеал \rho также регулярен, так как соотношение x-xa\in\rho влечет \overline{x}-\overline{x}\overline{a}\in\overline{\rho}. В силу теоремы 2 радикал Джекобсона --- это пересечение всех регулярных максимальных левых идеалов в R: J(R)=\cap\rho, но тогда 0=\cap\overline{\rho} --- пересечение некоторых максимальных регулярных левых идеалов кольца R/J(R), а значит, оно содержит радикал Джекобсона этого кольца. Откуда J(R/J(R))=0. 3. Можно считать, что \varphi --- эпиморфизм. Пусть J(S)=\cap\tau --- пересечение максимальных регулярных левых идеалов в S. Прообраз \varphi^{-1}(\tau) --- максимальный регулярный левый идеал. Таким образом J(R)\subseteq\cap\varphi^{-1}(\tau), а значит, \varphi(J(R))\subseteq\cap\tau=J(S). \blacksquare __Теорема 8.__ J(\textrm{Mat}_n(R))=\textrm{Mat}_n(J(R)). __Пример 1.__ J(\mathbb{Z})=0. Действительно, в [[:glossary:set:integer|кольце целых чисел]] \mathbb{Z} каждый идеал регулярный((см. [[:glossary:ring:ideal#левый_идеал|пример 2]])). Все максимальные идеалы имеют вид p\mathbb{Z}, где p --- простое число. Значит, J(\mathbb{Z})=\underset{p}{\bigcap}p\mathbb{Z}=0. ===== Смотри также ===== * [[:glossary:ring:radical|Радикал кольца]] * [[:glossary:ring:commutative:radical:jacobson|Радикал Джекобсона в коммутативном кольце]] ===== Литература ===== * Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. <<Радикалы алгебр и структурная теория>>, Наука, 1979. * Херстейн И. <<Некоммутативные кольца>>, Мир, 1972. {{tag>"абстрактная алгебра" "ассоциативное кольцо" "квазирегулярный радикал" "радикал" "радикал Джекобсона"}}