====== Кольцо Ли======
===== Описание =====
__Определение 1.__ **Кольцом Ли**((Lie ring)) (R,+,\cdot) будем называть [[:glossary:ring|кольцо]], в котором [[:glossary:operation:binary:algebraic|операция]] умножения антикоммутативна и удовлетворяет тождеству Якоби. Иными словами, операции сложения + и умножения \cdot кольца Ли удовлетворяют следующим аксиомам:
- [[:glossary:operation:binary:algebraic|ассоциативность]] сложения: (a+b)+c=a+(b+c) для всех a,b,c\in R;
- существует [[:glossary:element:groupoid:identity|нулевой элемент]] 0\in R такой, что a+0=0+a=a для всех a\in R;
- для всех a\in R существует [[:glossary:element:semigroup:inverse|противоположный элемент]] элемент -a\in R такой, что -a+a=a+(-a)=0;
- [[:glossary:operation:binary:algebraic|коммутативность]] сложения: a+b=b+a для всех a,b\in R;
- дистрибутивность:
- a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c для всех a,b,c\in R;
- (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c для всех a,b,c\in R;
- a\cdot a=0 для всех a\in R;
- **тождество Якоби**: a\cdot(b\cdot c)+b\cdot(c\cdot a)+c\cdot(a\cdot b)=0 для всех a,b,c\in R.
__Замечание 1.__ Из условия a\cdot a=0 следует условие **антикоммутативности**: a\cdot b=-b\cdot a для всех a,b\in R.
Более того, если в абелевой группе кольца нет элементов порядка 2, то условие a\cdot a=0 эквивалентно условию a\cdot b=-b\cdot a.
__Пример 1.__ Пусть (R,+,\cdot) --- произвольное [[:glossary:ring|ассоциативное кольцо]]. Зададим на R новую операцию умножения [a,b]=a\cdot b-b\cdot a, тогда (R,+,[]) --- кольцо Ли.
__Пример 2.__ [[glossary:algebra:lie|Алгебра Ли]] L над кольцом R является кольцом Ли с дополнительной структурой [[glossary:module#левый_модуль|левого ]]R[[glossary:module#левый_модуль|-модуля]].
__Предложение 1.__ Для каждого кольца Ли R существует такое ассоциативное кольцо A, что R изоморфно подкольцу A с операцией умножения [,], определенной формулой [a,b]=a\cdot b-b\cdot a.
===== См. также =====
* [[glossary:algebra:lie|Алгебра Ли]]
===== Литература =====
* Фейс К. «Алгебра: кольца, модули и категории. Т.1», Мир, 1977.
* Холл М. «Теория групп», Иностранная литература, 1962.
{{tag>"абстрактная алгебра" "антикоммутативность" "кольцо" "кольцо Ли" "тождество Якоби"}}