====== Делитель нуля ======
===== Делители нуля =====
Пусть <latex>(R,+,\cdot)</latex> --- произвольное [[:glossary:ring|кольцо]].

__Определение 1.__ Элемент <latex>x\in R</latex> называется **левым делителем нуля**((left zero divisor)), если существует такой <latex>y\neq 0</latex>, что <latex>xy=0</latex>. Элемент <latex>x\in R</latex> называется **правым делителем нуля**((right zero divisor)), если существует такой <latex>y\neq 0</latex>, что <latex>yx=0</latex>. Элемент <latex>x\in R</latex> называется **делителем нуля**((zero divisor)), если он является одновременно левым и правым делителем нуля.

__Замечание 1.__ Если <latex>R</latex> --- коммутативное кольцо, то левый делитель нуля является правым делителем нуля и наоборот.

__Пример 1.__ Пусть <latex>\textrm{Mat}_2(F)</latex> --- кольцо [[:glossary:matrix|матриц]] порядка 2. Матрица <latex>\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}</latex> является делителем нуля, так как <WRAP centeralign><latex>\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}</latex>.</WRAP>
===== Область целостности =====
__Определение 2.__ Кольцо <latex>R</latex> называется **целостным**((integral ring)), или **областью целостности**((integral domain)), если это [[:glossary:ring#ассоциативное_кольцо_с_единицей|коммутативное ассоциативное кольцо с единицей]] отличной от нуля и в нем нет ненулевых делителей нуля.

__Пример 2.__ [[:glossary:set:integer|Кольцо целых чисел]] <latex>\mathbb{Z}</latex> --- целостное.

__Пример 3.__ [[:glossary:ring#подкольцо_и_факторкольцо|Кольцо классов вычетов]] <latex>\mathbb{Z}_m</latex> целостное тогда и только тогда, когда <latex>m</latex> --- [[:glossary:arithmetic:theorem:fundamental|простое число]].

В теории некоммутативных колец в определении области целостности не требуют коммутативности. Кроме того, иногда убирают требование <latex>0\neq 1</latex>, которое исключает случай <latex>R=0</latex>. Поэтому определение принимает следующую форму:

__Определение 2'.__ Кольцо <latex> R </latex> называется **целостным**, или **областью целостности**, если оно [[:glossary:ring#ассоциативное_кольцо_с_единицей|ассоциативное с единицей]] и в нем нет ненулевых левых или правых делителей нуля.

__Предложение 1.__ Пусть <latex> R </latex> --- целостное кольцо, тогда [[:glossary:ring:polynomial|кольцо многочленов от одной переменной]] <latex>R[T]</latex> --- целостное.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/3249529/?partner=lds1938|Атья М., Макдональд И. «Введение в коммутативную алгебру», Факториал, 2003.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "кольцо" "делитель нуля" "область целостности" "целостное кольцо"}}