====== Максимальный идеал в коммутативном кольце ======
===== Определение =====
Пусть <latex>A</latex> --- [[:glossary:ring|коммутативное ассоциативное кольцо с единицей]].

__Определение 1.__ [[:glossary:ring:commutative:ideal|Собственный идеал]] <latex>\rho</latex> кольца <latex>A</latex> называется **максимальным**((maximal ideal)), если он не содержится ни в каком другом собственном идеале кольца <latex>A</latex>.
===== Свойства максимальных идеалов =====
__Предложение 1.__ Идеал <latex>\rho</latex> кольца <latex>A</latex> максимальный тогда и только тогда, когда [[:glossary:ring#подкольцо_и_факторкольцо|факторкольцо]] <latex>A/\rho</latex> --- [[:glossary:field|поле]].

__Предложение 2.__ В каждом ненулевом кольце существует максимальный идеал.

__Предложение 3.__ Каждый собственный идеал кольца содержится в некотором максимальном идеале.

__Предложение 4.__ Каждый необратимый элемент кольца содержится в некотором максимальном идеале.

__Предложение 5.__ Каждый максимальный идеал [[:glossary:ring:commutative:ideal:prime|прост]].
===== См. также =====
  * [[:glossary:ring:commutative:ideal:prime|Простой идеал]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/3249529/?partner=lds1938|Атья М., Макдональд И. «Введение в коммутативную алгебру», Факториал, 2003.]]
{{tag>"абстрактная алгебра" "коммутативное кольцо" "простой идеал" "максимальный идеал"}}