====== Кольцо ======
===== Кольцо =====
__Определение 1.__ **Кольцом**((ring)) <latex>(R,+,\cdot)</latex> называется [[:glossary:set|множество]] <latex>R</latex> с двумя [[:glossary:operation:binary:algebraic|бинарными алгебраическими операциями]] [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|сложением]] <latex>+</latex> и [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|умножением]] <latex>\cdot</latex>, связанными законами дистрибутивности. При этом <latex>(R,+)</latex> --- [[:glossary:group#абелева_группа|абелева группа]], <latex>(R,\cdot)</latex> --- [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|группоид]]. Иными словами, операции кольца удовлетворяют следующим аксиомам:
  - операция сложения [[:glossary:operation:binary:algebraic|ассоциативна]]: <latex>(a+b)+c=a+(b+c)</latex> для любых <latex>a,b,c\in R</latex>;
  - существует [[:glossary:element:groupoid:identity|нулевой элемент]] <latex>0\in R</latex> такой, что <latex>a+0=0+a=a</latex> для любого <latex>a\in R</latex>;
  - существует [[:glossary:element:semigroup:inverse|противоположный элемент]]: для любого <latex>a\in R</latex> существует <latex>-a\in R</latex> такой, что <latex>-a+a=a+(-a)=0</latex>;
  - операция сложения [[:glossary:operation:binary:algebraic|коммутативна]]: <latex>a+b=b+a</latex> для любых <latex>a,b\in R</latex>;
  - выполнены законы дистрибутивности:
    - <latex>a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</latex> для любых <latex>a,b,c\in R</latex>,
    - <latex>(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c</latex> для любых <latex>a,b,c\in R</latex>.

__Пример 1.__ [[:glossary:set:integer|Множество целых чисел]] <latex>\mathbb{Z}</latex> с операциями сложения <latex>+</latex> и умножения <latex>\cdot</latex> является кольцом. 

===== Коммутативное кольцо =====
__Определение 2.__ Если кольцо <latex>(R,+,\cdot)</latex> удовлетворяет дополнительному условию
  * <latex>a\cdot b=b\cdot a</latex> для любых <latex>a,b\in R</latex> (коммутативность операции умножения),
то кольцо называется **коммутативным**((commutative ring)).
===== Ассоциативное кольцо =====
__Определение 3.__ Если кольцо <latex>(R,+,\cdot)</latex> удовлетворяет дополнительному условию
  * <latex>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)</latex> для любых <latex>a,b,c\in R</latex> (ассоциативность операции умножения),
то кольцо называется **ассоциативным**((associative ring)).

__Пример 2.__ Примером кольца является неассоциативное и некоммутативное [[:glossary:ring:lie|кольцо Ли]].
===== Ассоциативное кольцо с единицей =====
__Определение 4.__ Если ассоциативное кольцо <latex>(R,+,\cdot)</latex> удовлетворяет дополнительному условию
  * существует [[:glossary:element:groupoid:identity|единичный элемент]] <latex>1\in R</latex> такой, что <latex>a\cdot 1=1\cdot a=a</latex> для любого <latex>a\in R</latex>,
то кольцо называется **ассоциативным кольцом с единицей**((associative ring with identity)).

__Пример 3.__ Множество <latex>\textrm{Mat}_n(\mathbb{Z})</latex> всех [[:glossary:matrix|матриц]] порядка <latex>n</latex> с целочисленными коэффициентами является ассоциативным кольцом с единицей относительно [[:glossary:matrix#сложение_и_умножение_на_скаляр|операций сложения]] и [[:glossary:matrix#умножение_матриц|умножения матриц]]. Единичным элементом является [[:glossary:matrix|единичная матрица]]. Это кольцо некоммутативно.

__Пример 4.__ Пусть <latex>S</latex> --- произвольное множество и <latex>R</latex> --- ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Тогда на множестве <latex>\mathrm{Hom}(S,R)</latex> [[:glossary:mapping|отображений]] из <latex>S</latex> в <latex>R</latex> возникает структура ассоциативного коммутативного кольца с единицей, если положить
  * <latex>(f\cdot g)(x)=f(x)g(x)</latex> и
  * <latex>(f+g)(x)=f(x)+g(x)</latex> для всех <latex>f,g\in\mathrm{Hom}(S,R)</latex> и <latex>x\in S</latex>.
Мультипликативной единицей служит постоянное отображение <latex>1_S\colon x\mapsto 1</latex>, значение которого есть мультипликативная единица кольца <latex>R</latex>, которое обычно обозначается как <latex>1</latex>. Нулевым элементом служит постоянное отображение <latex>0_S:x\mapsto 0</latex>, значение которого есть нулевой элемент <latex>0</latex> кольца <latex>R</latex>.

__Пример 5.__ Рассмотрим множество [[:glossary:morphism:group|групповых гомоморфизмов]] <latex>\textrm{End}(G)</latex> аддитивной абелевой группы <latex> G </latex> в себя. Определим операцию сложения в <latex>\textrm{End}(G)</latex> по правилу: <latex>(f+g)(x)=f(x)+g(x)</latex> для всех <latex>f,g\in\textrm{End}(G)</latex> и <latex>x\in G</latex>. В качестве операции умножения возьмем [[:glossary:mapping:composite|композицию отображений]]. Тогда <latex>\textrm{End}(G)</latex> относительно введенных операций является ассоциативным кольцом с единицей. Роль единицы играет [[:glossary:mapping#виды_отображений|тождественное отображение]] <latex>\textrm{id}_G</latex>.

__Пример 6.__ Пусть <latex> R </latex> --- произвольное ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Тогда [[:glossary:ring:polynomial|кольцо многочленов]] <latex>R[T]</latex> от одной переменной над кольцом <latex> R </latex> также является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей.
===== Подкольцо и факторкольцо =====
__Определение 5.__ Подмножество <latex> S </latex> кольца <latex> R </latex> называется **подкольцом**((subring)), если <latex> S </latex> [[:glossary:semigroup|замкнуто относительно]] всех операций кольца:
<WRAP centeralign><latex>x+(-y)\in S</latex> и <latex>x\cdot y\in S</latex> для всех <latex>x,y\in S</latex>,</WRAP>
то есть <latex>(S,+)</latex> является [[:glossary:group#подгруппа|подгруппой]] в <latex>(R,+)</latex>, а <latex>(S,\cdot)</latex> является подгруппоидом <latex>(R,\cdot)</latex>. Если кольцо <latex>R</latex> с единицей((или обладает другими дополнительными свойствами)), то <latex>S</latex> также должно обладать этим свойством.

__Определение 6.__ Пусть <latex>\rho</latex> --- [[:glossary:ring:ideal|двусторонний идеал]] кольца <latex>R</latex>. [[:glossary:group:factor|Факторгруппа]] <latex>(R,+)/(\rho,+)</latex> с индуцированным умножением <latex>(a+\rho)\cdot(b+\rho)=a\cdot b+\rho</latex> является кольцом, которое называется **факторкольцом**((quotient-ring)) <latex>R/\rho</latex>.

__Предложение 1.__ Операция умножения <latex>(a+\rho)\cdot(b+\rho)=a\cdot b+\rho</latex> в факторгруппе <latex>(R,+)/(\rho,+)</latex> определена корректно, то есть не зависит от выбора представителя в [[:glossary:group:factor#смежные_классы|смежном классе]].

__Пример 7.__ Рассмотрим кольцо целых чисел <latex>\mathbb{Z}</latex>. Множество всех целых чисел, кратных фиксированному целому числу <latex> m </latex> будем обозначать через <latex>m\mathbb{Z}</latex>, <latex>m\mathbb{Z}=\{m\cdot n|n\in\mathbb{Z}\}</latex>. Это двусторонний идеал в <latex>\mathbb{Z}</latex>. Факторкольцо <latex>\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}</latex> состоит из <latex> m </latex> элементов <latex>\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{m-1}</latex>, где под <latex>\overline{k}</latex> понимается множество всех целых чисел, имеющих остаток <latex> k </latex> при делении на <latex> m </latex>. Часто <latex>\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}</latex> обозначают через <latex>\mathbb{Z}_m</latex> и называют **кольцом классов вычетов**((residue class ring)) по модулю <latex> m </latex>.
===== См. также =====
  * [[:glossary:morphism:ring|Гомоморфизм колец]]
  * [[:glossary:ring:lie|Кольцо Ли]]
  * [[:glossary:field|Поле]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/1255737/?partner=lds1938|Винберг Э.Б. «Курс алгебры», Факториал, 2002.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "ассоциативное кольцо" "ассоциативное кольцо с единицей" "бинарная алгебраическая операция" "кольцо" "кольцо классов вычетов" "кольцо с единицей" "коммутативное кольцо" "подкольцо" "факторкольцо"}}