====== Отношение порядка на множестве ======
проверено
===== Отношение частичного порядка =====
__Определение 1.__ [[:glossary:relation:binary|Бинарное отношение]] \preccurlyeq на [[:glossary:set|множестве]] A называется **отношением частичного порядка**((partial order relation)), если оно удовлетворяет свойствам
- рефлексивности: x\preccurlyeq x для всех x\in A;
- антисимметричности: (x\preccurlyeq y) \wedge (y\preccurlyeq x) \Rightarrow x=y для всех x,y\in A;
- транзитивности: (x\preccurlyeq y) \wedge (y\preccurlyeq z) \Rightarrow x\preccurlyeq z для всех x,y,z\in A.
__Пример 1.__ Пусть \mathcal{P}(U) --- множество всех подмножеств множества U . Отношение включения \subseteq на \mathcal{P}(U) является отношением частичного порядка.
__Пример 2.__ Упорядочение \leqslant((см. [[:glossary:relation:binary|пример 3 в статье бинарное отношение]])) на множестве [[:glossary:set:real|действительных чисел]] \mathbb{R} является отношением частичного порядка.
__Пример 3.__ На множестве [[:glossary:set:complex|комплексных чисел]] \mathbb{C} определим бинарное отношение \leqslant как множество упорядоченных пар комплексных чисел (x_1+y_1i,x_2+y_2i) таких, что x_1\leqslant x_2 и y_1\leqslant y_2. Тогда \leqslant удовлетворяет свойствам
* рефлексивности;
* антисимметричности;
* транзитивности,
и по определению является отношением частичного порядка.
__Пример 4.__ Отношение делимости на множестве [[:glossary:set:integer|целых чисел]] \mathbb{Z}((см. [[:glossary:relation:binary|пример 2 в статье бинарное отношение]])) не является отношением частичного порядка, так как не обладает свойством антисимметричности: 2 делится на -2 и -2 делится на 2, но 2\neq-2. Но то же самое отношение на множестве [[:glossary:set:integer:positive|натуральных чисел]] \mathbb{N} является отношением частичного порядка.
Достаточно часто наряду с отношением частичного порядка встречаются бинарные отношения, которые вместо отношения рефлексивности удовлетворяют отношению антирефлексивности. Например, на множестве действительных чисел в случае, если x\leqslant y и x\neq y пишут x< y.
__Определение 2.__ Бинарное отношение \prec на множестве A называется **отношением строгого частичного порядка**((strict partial order relation)), если оно удовлетворяет свойствам
- антирефлексивности: x\not\prec x для всех x\in A;
- антисимметричности: (x\prec y) \wedge (y\prec x) \Rightarrow x=y для всех x,y\in A;
- транзитивности: (x\prec y) \wedge (y\prec z) \Rightarrow x\prec z для всех x,y,z\in A.
===== Отношение линейного порядка =====
__Определение 3.__ Бинарное отношение \preccurlyeq на множестве A называется **отношением линейного порядка**((linear order relation)), если
- \preccurlyeq является отношением частичного порядка;
- для любых x,y\in A либо x\preccurlyeq y, либо y\preccurlyeq x.
__Пример 5.__ Бинарное отношение \leqslant на множестве комплексных чисел \mathbb{C} из __примера 1__ не является отношением линейного порядка, так как ни пара (1,i), ни (i,1) не принадлежат бинарному отношению \leqslant.
__Пример 6.__ На множестве действительных чисел \mathbb{R} упорядочение \leqslant((см. __пример 2__)) является отношением линейного порядка.
===== Упорядоченные множества =====
Про множество, на котором задано отношение частичного порядка, говорят, что оно [[:glossary:set:ordered:partially#упорядоченные_множества|частично упорядочено]]. Если же задано отношение линейного порядка, то множество называют [[:glossary:set:ordered:partially#упорядоченные_множества|линейно упорядоченным]], или просто упорядоченным.
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]
{{tag>"теория множеств" "антирефлексивность" "антисимметричность" "бинарное отношение" "линейно упорядоченное множество" "отношение линейного порядка" "отношение строгого частичного порядка" "отношение частичного порядка" "рефлексивность" "симметричность" "транзитивность" "частично упорядоченное множество"}}