====== Бинарное отношение ======
===== Определение =====
__Определение 1.__ **Бинарным отношением**((binary relation)) между [[:glossary:set|множествами]] <latex> A </latex> и <latex> B </latex> называется любое [[:glossary:set|подмножество]] <latex>\rho</latex> [[:glossary:product:direct|прямого произведения]] <latex>A \times B</latex>. Часто чтобы обозначить принадлежность упорядоченной пары <latex>(x,y)</latex> к бинарному отношению <latex>\rho</latex> вместо записи <latex>(x,y)\in\rho</latex> используют обозначения <latex>\rho(x,y)</latex> или <latex>x\rho y</latex>. При этом говорят, что <latex> x </latex> находится в отношении <latex>\rho</latex> к <latex> y </latex>.

Если <latex>A=B</latex>, то говорят, что <latex>\rho</latex> задано на множестве <latex> A </latex>.

__Пример 1.__ Пусть <latex>A=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}</latex> и <latex>B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}</latex>. Тогда подмножество <latex>\{(a,2),(c,3),(d,5)\}</latex> в <latex>A\times B</latex> является бинарным отношением между множествами <latex> A </latex> и <latex> B </latex>

__Пример 2.__ На множестве [[:glossary:set:integer|целых чисел]] <latex>\mathbb{Z}</latex> отношение делимости, состоящее из упорядоченных пар <latex>(m,n)</latex>, в которых <latex> m </latex> делится на <latex> n </latex>, является бинарным отношением. В этом случае обозначение <latex>m\rho n</latex> заменяется на <latex>m\vdots n</latex>.

__Пример 3.__ На множестве [[:glossary:set:real|действительных чисел]] <latex>\mathbb{R}</latex> упорядочение <latex>\leqslant</latex> является бинарным отношением на <latex>\mathbb{R}</latex>, состоящим из всех точек плоскости <latex>\mathbb{R}^2</latex>, лежащих не ниже прямой <latex>x-y=0</latex>.

{{ :glossary:relation:rel_lesseq.jpg |≤}}

__Пример 4.__ Для [[:glossary:mapping|функции]] <latex>f:X\rightarrow Y</latex> ее график <latex>\Gamma(f)=\{(x,y)\vert y=f(x),x\in X\}</latex> является бинарным отношением между <latex> X </latex> и <latex> Y </latex>.
===== Свойства бинарного отношения на множестве =====
__Определение 2.__ Говорят, что бинарное отношение <latex>\rho</latex> на множестве <latex> A </latex> обладает свойством **рефлексивности**((reflexive property)), если <latex>(x,x)\in\rho</latex> для всех <latex>x\in A</latex>.

__Определение 3.__ Говорят, что бинарное отношение <latex>\rho</latex> на множестве <latex> A </latex> обладает свойством **антирефлексивности**((irreflexive property)), если <latex>(x,x)\not\in\rho</latex> для всех <latex>x\in A</latex>.

__Определение 4.__ Говорят, что бинарное отношение <latex>\rho</latex> на множестве <latex> A </latex> обладает свойством **симметричности**((symmetric property)), если <latex>(x,y)\in\rho</latex> влечет за собой <latex>(y,x)\in\rho</latex> для всех <latex>x,y\in A</latex>.

__Определение 5.__ Говорят, что бинарное отношение <latex>\rho</latex> на множестве <latex> A </latex> обладает свойством **антисимметричности**((antisymmetric property)), если <latex>(x,y)\in\rho</latex>, <latex>x\neq y</latex>, влечет за собой <latex>(y,x)\not\in\rho</latex> для всех <latex>x,y\in A</latex>.

__Определение 6.__ Говорят, что бинарное отношение <latex>\rho</latex> на множестве <latex> A </latex> обладает свойством **транзитивности**((transitive property)), если <latex>(x,y)\in\rho</latex> и <latex>(y,z)\in\rho</latex> влечет за собой <latex>(x,z)\in\rho</latex> для всех <latex>x,y,z\in A</latex>.

__Определение 7.__ Говорят, что бинарное отношение <latex>\rho</latex> на множестве <latex> A </latex> обладает свойством **связанности**((total property)), если <latex>(x,y)\in\rho</latex> или <latex>(y,x)\in\rho</latex> для всех <latex>x,y\in A</latex>.

__Пример 5.__ Отношение делимости целых чисел из __примера 2__ является
  * рефлексивным: любое целое число <latex> m </latex> делится на себя, то есть <latex>m\vdots m</latex>;
  * транзитивным: если <latex> m </latex> делится на <latex> n </latex>, а <latex> n </latex> делится на <latex> k </latex>, то <latex> m </latex> делится на <latex> k </latex>.

__Пример 6.__ Отношение порядка <latex>\leqslant</latex> из __примера 3__ обладает свойствами
  * рефлексивности;
  * транзитивности;
  * антисимметричности;
  * связанности.
===== Виды бинарных отношений =====
Отдельно выделяются бинарные отношения, обладающие <<хорошим>> набором свойств:
  * [[:glossary:relation:order#отношение_линейного_порядка|Отношение линейного порядка]]
  * [[:glossary:relation:order#отношение_частичного_порядка|Отношение частичного порядка]]
  * [[:glossary:relation:equivalence|Отношение эквивалентности]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/4827500/?partner=lds1938|Бурбаки Н. «Теория множеств», Либроком, 2010.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]

{{tag>"теория множеств" "антирефлексивность" "антисимметричность" "бинарное отношение" "множество" "отображение" "прямое произведение" "рефлексивность" "связанность" "симметричность" "транзитивность"}}