====== Корни многочлена ======
===== Значение многочлена =====
Пусть <latex>A</latex> --- [[:glossary:ring|коммутативное ассоциативное кольцо с единицей]], содержащееся в [[:glossary:ring|коммутативном]] [[:glossary:ring:element:zero-divisor|целостном кольце]] <latex>K</latex>, и <latex>A[T]</latex> --- [[:glossary:ring:polynomial|кольцо многочленов]] от одной переменной.

__Предложение 1.__ Для каждого элемента <latex>t\in K</latex> существует единственный [[:glossary:morphism:ring|гомоморфизм колец]] <latex>\Pi_t\colon A[T]\rightarrow K</latex> такой, что
  - <latex>\Pi_t(a)=a</latex> для всех <latex>a\in A</latex>;
  - <latex>\Pi_t(T)=t</latex>.

__Определение 1.__ Результат применения отображения <latex>\Pi_t</latex> к многочлену <latex>f=a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n</latex>, то есть выражение <latex>\Pi_t(f)=a_0+a_1\cdot t+\ldots+a_n\cdot t^n</latex>, называется **значением многочлена**((value of polynomial)) <latex>f</latex> при <latex>T=t</latex>.

__Пример 1.__ Пусть <latex>f=2T^2+1</latex> --- многочлен над [[:glossary:field|полем]] [[:glossary:set:real|действительных чисел]]. Тогда его значение при <latex>T=5</latex> --- это <latex>f(5)=2\cdot5^2+1=51</latex>.
===== Корень многочлена =====
__Определение 2.__ Элемент <latex>c\in K</latex> называется **корнем многочлена**((polynomial root)) <latex>f(T)=a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n</latex> из кольца многочленов <latex>A[T]</latex>, если <WRAP centeralign><latex>f(c)=a_0+a_1c+\ldots+a_nc^n=0</latex>.</WRAP>

__Замечание 1.__ Операции сложения и умножения при вычислении выражения <latex>a_0+a_1c+\ldots+a_nc^n</latex> производятся в кольце <latex>K</latex>.

__Пример 2.__ [[:glossary:set:integer:rational|Рациональное число]] <latex>1/2</latex> является корнем многочлена с целыми коэффициентами <latex>2T-1</latex>.

__Пример 3.__ [[:glossary:set:complex|Мнимая единица]] <latex>i\in\mathbb{C}</latex> является корнем многочлена <latex>1+T^2\in\mathbb{R}[T]</latex>.
===== Теорема Безу =====
__Теорема 1.(**Теорема Безу**)__ Элемент <latex>c\in A</latex> является корнем многочлена <latex>f\in A[T]</latex> тогда и только тогда, когда <latex>T-c</latex> делит <latex>f</latex> в кольце <latex>A[T]</latex>.
===== См. также =====
  * [[:glossary:field:extension:algebraic|Алгебраическое расширение поля]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "значение многочлена" "корень многочлена" "кратность корня" "многочлен" "теорема безу"}}