====== Характеристический многочлен линейного оператора ====== проверено Рассмотрим [[:glossary:space:linear:basis|конечномерное]] [[:glossary:space:linear|векторное пространство]] V над [[:glossary:field|полем]] F . Зафиксируем на нем [[:glossary:morphism:space:linear#определение|линейный оператор]] \varphi\colon V\rightarrow V. Через A_{\varphi} будем обозначать [[:glossary:matrix:map:linear|матрицу оператора]] \varphi в некотором заранее выбранном [[:glossary:space:linear:basis|базисе]]. ===== Инвариантные подпространства ===== __Определение 1.__ [[:glossary:space:linear#подпространство_векторного_пространства|Подпространство]] U\subset V называется **инвариантным**((invariant)) относительно линейного оператора \varphi, если \varphi(U)\subset U. __Теорема 1.__ Пространство V является [[:glossary:space:linear:sum#внутренняя_прямая_сумма|прямой суммой]] двух подпространств U и W , инвариантных относительно линейного оператора \varphi, тогда и только тогда, когда в некотором базисе матрица оператора \varphi имеет клеточно-диагональный вид: \begin{pmatrix}A_U & 0\\ 0 & A_W\end{pmatrix}. ===== Собственные вектора и собственные значения ===== __Определение 2.__ Ненулевой вектор из одномерного подпространства, инвариантного относительно \varphi, называется **собственным вектором**((eigenvector)) оператора \varphi. Таким образом, собственный вектор v оператора \varphi удовлетворяет условию \varphi(v)=av. При этом скаляр a\in F называется **собственным значением**((eigenvalue)) оператора \varphi. __Пример 1.__ Пусть V --- двумерное векторное пространство над [[:glossary:set:real|полем действительных чисел]] \mathbb{R}, и \varphi --- линейный оператор на V , имеющий в некотором базисе e_1,e_2\in V матрицу A_{\varphi}=\begin{pmatrix}1 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}. Тогда вектор u=e_1+2e_2 является собственным вектором оператора \varphi с собственным значением 3 , а вектор v=e_1-2e_2 --- собственным вектором с собственным значением -1. В этом можно удостовериться, решив уравнения, \begin{pmatrix}1 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix} и \begin{pmatrix}1 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}. __Определение 3.__ Подпространство((Множество V^a действительно является векторным пространством.)) V^a=\{v\in V\vert\varphi(v)=av\} называется **собственным подпространством**((eigenspace)) оператора \varphi. Размерность \textrm{dim}V^a называется **геометрической кратностью**((geometric multiplicity)) собственного значения a . __Определение 4.__ Множество всех собственных значений линейного оператора \varphi называется **спектром**((spectrum)) этого оператора и обозначается символом \textrm{Spec}\varphi. Точка спектра называется **простой**((simple point)), если ей соответствует геометрическая кратность 1. Спектр называется **простым**((simple spectrum)), если каждая точка спектра проста. __Предложение 1.__ Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, [[:glossary:dependent:linear#линейная_зависимость1|линейно независимы]]. Сумма \sum_{a\in\textrm{Spec}\varphi}V^a является прямой. __Пример 2.__ Опишем спектр линейного оператора \varphi на векторном пространстве V из примера 1. Так как на двумерном векторном пространстве любой линейный оператор имеет не более двух собственных значений((см. определение размерности и предложение 1.)), то из примера 1 видно, что -1 и 3 образуют простой спектр этого оператора. ===== Характеристический многочлен ===== __Определение 5.__ **Характеристическим многочленом**((characteristic polynomial)) оператора \varphi называется [[:glossary:ring:polynomial|многочлен]] \chi_{\varphi}(t)=\textrm{det}(tE-A_{\varphi}). __Теорема 2.__ Характеристический многочлен линейного оператора \varphi не зависит от выбора базиса, в котором представлена его матрица. __Определение 6.__ Уравнение \chi_{\varphi}(t)=0 называется **характеристическим уравнением**((characteristic equation)) оператора \varphi. __Предложение 2.__ Собственное значение a оператора \varphi является [[:glossary:polynomial:root|корнем]] характеристического многочлена, т.е. \chi_{\varphi}(a)=0. Обратно, любой корень a\in F характеристического многочлена является собственным значением оператора \varphi. __Определение 7.__ Кратность a как корня многочлена \chi_{\varphi}(t) называется **алгебраической кратностью**((algebraic multiplicity)) собственного значения a оператора \varphi. __Теорема 3.__ Геометрическая кратность собственного значения a не превосходит его алгебраической кратности. ===== Диагонализируемые линейные операторы ===== __Определение 8.__ Линейный оператор \varphi называется **диагонализируемым**, если существует базис, в котором матрица этого оператора имеет диагональный вид A_{\varphi}=\begin{pmatrix}a_1 & 0 & \ldots & 0\\0 & a_2 & \ldots & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 0 & \ldots & a_n\end{pmatrix}. __Теорема 4.__ Линейный оператор \varphi с простым спектром диагонализируем. __Теорема 5.__ Пусть \varphi --- линейный оператор на конечномерном векторном пространстве V над полем F . Для диагонализируемости \varphi необходимо и достаточно выполнения следующих двух условий: - все корни характеристического многочлена \chi_{\varphi}(t) лежат в F ; - геометрическая кратность каждого собственного значения a совпадает с его алгебраической кратностью. __Пример 3.__ Пусть V --- векторное пространство над полем действительных чисел \mathbb{R} и \varphi --- линейный оператор на V , имеющий в некотором базисе матрицу A_{\varphi}=\begin{pmatrix}2 & -1\\1 & 1\end{pmatrix}. Характеристический многочлен этого оператора равен: \textrm{det}(tE-A_{\varphi})=\begin{vmatrix}t-2 & 1\\-1 & t-1\end{vmatrix}=t^2-3t+3. Уравнение t^2-3t+3=0 не имеет корней в действительных числах, поэтому оператор \varphi не имеет собственных значений. __Пример 4.__ Пусть в предыдущем примере векторное пространство V рассматривается над [[:glossary:set:complex|полем комплексных чисел]] \mathbb{C}. Тогда характеристическое уравнение оператора \varphi имеет 2 корня (3\pm\sqrt{3}\iota)/2. Следовательно, оператор \varphi имеет простой спектр и поэтому диагонализируем. ===== Литература ===== * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/7631501/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Линейная алгебра», МЦНМО, 2012.]] * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2423932/?partner=lds1938|Кострикин А.И., Манин Ю.И. «Линейная алгебра и геометрия», Лань, 2008.]] {{tag>"линейная алгебра" "алгебраическая кратность" "геометрическая кратность" "инвариантное пространство" "линейный оператор" "собственное значение" "собственное подпространство" "собственный вектор" "спектр" "характеристический многочлен" "характеристическое уравнение"}}