====== Гомоморфизм моноидов ======
===== Описание =====
__Определение 1.__ Пусть даны произвольные [[:glossary:monoid|моноиды]] (A,\cdot_A) и (B,\cdot_B). [[:glossary:mapping|Отображение]] \varphi:A\rightarrow B называется **гомоморфизмом моноидов**((monoid homomorphism)), если:
- \varphi(x\cdot_Ay)=\varphi(x)\cdot_B\varphi(y) для \forall x,y\in A
- \varphi(1_A)=1_B
__Определение 2.__ Множество \textrm{ker}\varphi=\{a\in A\vert\varphi(a)=1_B\} называется **ядром гомоморфизма**((kernel of homomorphism)) \varphi. Очевидно, что \textrm{ker}\varphi содержит 1_A и является [[:glossary:monoid|подмоноидом]] в (A,\cdot_A).
__Определение 3.__ Множество \textrm{Im}\varphi=\{b\in B\vert(\exists a\in A)\varphi(a)=b\} называется **образом гомоморфизма**((homomorphism image)) \varphi. \textrm{Im}\varphi является подмоноидом моноида B .
Гомоморфизм моноидов --- это [[:glossary:category|морфизм]] в [[:glossary:category:monoid|категории моноидов]].
__Пример 1.__ Пусть G --- мультипликативный моноид. Зафиксируем элемент x\in G. Если \mathbb{Z}_+ --- аддитивный моноид целых неотрицательных чисел, то отображение f:\mathbb{Z}_+\rightarrow G, определяемое формулой f(n)=x^n, является гомоморфизмом моноидов.
__Пример 2.__ Рассмотрим моноиды (\mathbb{N}\cup\{0\},+) и (S(X),\ast) --- моноид из __примера 3__ статьи [[:glossary:monoid|Моноид]], где X --- [[:glossary:logic:alphabet|алфавит]] из одной буквы, X=\{a\}. Определим отображение \varphi\colon\mathbb{N}\cup\{0\}\rightarrow S(X), которое элементу 1 ставит в соответствие a , а элементу 0 --- [[:glossary:logic:alphabet|пустое слово]] \Lambda. Тогда \varphi(n)=\underbrace{a\ldots a}_{n}, а значит, \varphi --- гомоморфизм моноидов.
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]
{{tag>"абстрактная алгебра" "гомоморфизм" "моноид" "образ гомоморфизма" "ядро гомоморфизма"}}