====== Проективный модуль ======
===== Определение проективного модуля =====
Пусть <latex> A </latex> --- [[:glossary:ring|ассоциативное кольцо с единицей]].

__Определение 1.__ [[:glossary:module|Модуль]]((левый или правый)) <latex> P </latex> над кольцом <latex> A </latex> называется **проективным**((projective module)), если для любого [[:glossary:morphism:module|гомоморфизма]] <latex> A </latex>-[[:glossary:morphism:module|модулей]]((левых или правых, соответственно)) <latex>f:P\rightarrow M''</latex> и любого [[:glossary:mapping|сюръективного]] гомоморфизма <latex> A </latex>-модулей <latex>g:M\rightarrow M''</latex> существует гомоморфизм <latex> A </latex>-модулей <latex>h:P\rightarrow M</latex> такой, что <latex>f=g\circ h</latex>, то есть коммутативна диаграмма
<WRAP centeralign><latex>\begin{diagram} \node[3]{P}\arrow[2]{s,r}{f}\arrow[2]{sw,l}{h}\\ \\ \node{M}\arrow[2]{e,b}{g}\node[2]{M''}\arrow[2]{e}\node[2]{0.}\end{diagram}</latex></WRAP>
===== Свойства проективных модулей =====
__Предложение 1.__ [[:glossary:sum:direct|Прямая сумма]] модулей проективна тогда и только тогда, когда проективно каждое слагаемое.

__Предложение 2.__ Модуль проективен тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым некоторого [[:glossary:module:free|свободного модуля]].

__Предложение 3.__ Для любого модуля <latex> M </latex> существует [[:glossary:module:left:sequence:exact|точная последовательность]] <latex>0\rightarrow N\rightarrow P\rightarrow M\rightarrow 0</latex> с проективным модулем <latex> P </latex>.

__Предложение 4.__ Модуль <latex> P </latex> проективен тогда и только тогда, когда любая точная последовательность модулей <latex>0\rightarrow M'\rightarrow M\rightarrow P\rightarrow 0</latex> [[:glossary:module:left:sequence:exact|расщепляема]].
===== Примеры =====
  * Ассоциативное кольцо <latex> A </latex> можно рассматривать как левый модуль над собой. Тогда <latex> A </latex> является проективным левым модулем. Для произвольной точной последовательности <latex>M\xrightarrow{g} M''\rightarrow 0</latex> и любого гомоморфизма левых <latex> A </latex>-модулей <latex>f:A\rightarrow M''</latex> можно задать гомоморфизм <latex>h:A\rightarrow M</latex> по правилу <latex>h(1)=m</latex>, где <latex>g(m)=f(1)</latex>.
===== Литература =====
  * Картан А., Эйленберг С. <<Гомологическая алгебра>>, Иностранная литература, 1960.
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "ассоциативное кольцо" "проективный модуль" "точная последовательность"}}