====== Неприводимый модуль ====== ===== Централизатор кольца на модуле ===== Пусть R --- [[:glossary:ring|ассоциативное кольцо]] и M --- [[:glossary:module#левый_модуль|левый]]((или правый)) R[[:glossary:module#левый_модуль|-модуль]]. Через E(M)=\textrm{End}_\mathbb{Z}(M) обозначается множество всех [[:glossary:category|эндоморфизмов]] абелевой группы M. Для любых \varphi,\psi\in E(M) определим их сумму (\varphi+\psi)(m)=\varphi(m)+\psi(m) и произведение (\varphi\cdot\psi)(m)=\varphi(\psi(m)). Относительно этих операций E(M) является ассоциативным кольцом. Для любого a\in R отображение T_a\colon M\rightarrow M\colon m\mapsto a\cdot m((m\mapsto m\cdot a в случае правого модуля)) для всех m\in M принадлежит E(M). __Определение 1.__ **Централизатором кольца** R **на модуле** M ((ring centralizer)) называется кольцо C(M)=\textrm{End}_R(M)=\{\varphi\in E(M)\vert T_a\circ\varphi=\varphi\circ T_a~\forall a\in R\}\subseteq E(M), являющееся подкольцом R-эндоморфизмов модуля M в E(M). ===== Неприводимый левый модуль ===== __Определение 2.__ Пусть R --- [[:glossary:ring|ассоциативное кольцо]]. [[:glossary:module#левый_модуль|Левый]] R[[:glossary:module#левый_модуль|-модуль]] M называется **неприводимым**((irreducible module)), если RM\neq 0 и [[:glossary:module|подмодулями]] модуля M являются лишь 0 и M. __Пример 1.__ Пусть R --- ассоциативное кольцо и \rho --- минимальный (по включению) [[:glossary:ring:ideal|собственный]] левый идеал R. Тогда идеал \rho, рассматриваемый как левый модуль над R --- неприводим. __**Лемма Шура.**__ Если M --- неприводимый левый R-модуль, то C(M) --- [[:glossary:ring:division|тело]]. Покажем, что любой [[:glossary:element:groupoid:identity|ненулевой элемент]] \theta\in C(M) имеет [[:glossary:element:semigroup:inverse|обратный]] в C(M). Достаточно показать, что \theta обратим в E(M), так как если существует \theta^{-1}\in E(M), то из равенства T_a\circ\theta=\theta\circ T_a следует, что \theta^{-1}\circ T_a=T_a\circ\theta^{-1}, то есть \theta^{-1}\in C(M).\\ Пусть \theta\in C(M)\backslash\{0\} и W=\theta M, тогда для любого r\in R имеем rW= T_rW= T_r(\theta M)= (T_r\theta)M= (\theta T_r)M= \theta(T_r M)\subseteq\theta M=W, то есть W --- подмодуль в M. Так как \theta\neq 0, то \theta M\neq 0 и из неприводимости модуля M следует, что M=\theta M, то есть \theta --- эпиморфизм.\\ В то же время \theta --- мономорфизм. В самом деле, легко видеть, что \textrm{ker}~\theta --- подмодуль модуля M и не совпадает с M, так как \theta\neq 0. Следовательно, \textrm{ker}~\theta=0. Будучи одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом, \theta является изоморфизмом и обладает обратным \theta^{-1}\in E(M). \blacksquare __Предложение 1.__ R-модуль M неприводим тогда и только тогда, когда он изоморфен R-модулю R/\rho для некоторого [[:glossary:ring:ideal#левый_идеал|регулярного максимального левого идеала]] \rho в R. Пусть модуль M неприводим. Зафиксируем некоторый ненулевой элемент m\in M, такой, что Rm\neq 0((он существует по определению неприводимого модуля)), и рассмотрим множество Rm. Это подмодуль в M. В силу неприводимости Rm=M. Определим отображение \Psi\colon R\rightarrow M по правилу \Psi(r)=r\cdot m. Ясно, что \Psi --- гомоморфизм R-модулей. Пусть \rho=\textrm{ker}~\Psi --- левый R-подмодуль в R. Поэтому R/\rho\cong M. Покажем, что \rho --- максимальный левый идеал в R. Каноническая проекция левых R-модулей R\rightarrow R/\rho индуцирует взаимно однозначное соответствие((см. [[:glossary:morphism:module#теоремы_о_гомоморфизмах|теорему о соответствии]])) между левыми идеалами в R((=левыми R-подмодулями)), содержащими \rho, и левыми R-подмодулями в R/\rho. В силу неприводимости R/\rho единственный собственный левый идеал, содержащий \rho, равен \rho. Остается показать, что \rho регулярен. Из равенства Rm=M следует, что для некоторого элемента a\in R a\cdot m=m. Для любого r\in R элемент r-ra\in\rho, так как (r-ra)m=rm-r(am)=rm-rm=0 для всех m\in M. Обратно, пусть \rho --- максимальный левый идеал в R. Тогда R/\rho неприводим снова в силу взаимно однозначного соответствия между левыми идеалами в R, содержащими \rho, и левыми R-подмодулями в R/\rho. \blacksquare ===== Неприводимый правый модуль ===== __Определение 1.__ Пусть R --- [[:glossary:ring|ассоциативное кольцо]]. [[:glossary:module#правый_модуль|Правый]] R [[:glossary:module#правый_модуль|-модуль]] M называется **неприводимым**((irreducible module)), если MR\neq 0 и подмодулями модуля M являются лишь 0 и M . __**Лемма Шура.**__ Если M --- неприводимый R -модуль, то C(M) --- [[:glossary:ring:division|тело]]. Покажем, что любой ненулевой элемент \theta\in C(M) имеет обратный в C(M). Достаточно показать, что \theta обратим в E(M), так как если существует \theta^{-1}\in E(M), то из равенства T_a\circ\theta=\theta\circ T_a следует, что \theta^{-1}\circ T_a=T_a\circ\theta^{-1}, то есть \theta^{-1}\in C(M).\\ Пусть \theta\in C(M)\backslash\{0\} и W=\theta M, тогда \forall r\in R имеем Wr= T_rW= T_r(\theta M)= (T_r\theta)M= (\theta T_r)M= \theta(T_r M)\subseteq\theta M=W, то есть W --- подмодуль в M . Так как \theta\neq 0, то \theta M\neq 0 и из неприводимости модуля M следует, что M=\theta M, то есть \theta --- эпиморфизм.\\ В то же время \theta --- мономорфизм. В самом деле, легко видеть, что \textrm{ker}~\theta --- подмодуль модуля M и не совпадает с M , так как \theta\neq 0. Следовательно, \textrm{ker}~\theta=0. Будучи одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом, \theta является изоморфизмом и обладает обратным \theta^{-1}\in E(M). \blacksquare __Предложение 1.__ Если M --- неприводимый R -модуль, то M изоморфен (как модуль) модулю R/\rho для некоторого [[:glossary:ring:ideal#правый_идеал|максимального]] [[:glossary:ring:ideal#правый_идеал|правого регулярного идеала]] \rho в R . __Пример 1.__ Пусть R --- ассоциативное кольцо и \rho --- минимальный (по включению) правый идеал R . Тогда идеал \rho, рассматриваемый как правый модуль над R --- неприводим. ===== См. также ===== * [[:glossary:module:faithful|Точный модуль]] ===== Литература ===== * Херстейн И. <<Некоммутативные кольца>>, Мир, 1972. {{tag>"абстрактная алгебра" "ассоциативное кольцо" "левый идеал" "левый модуль" "лемма шура" "максимальный идеал" "неприводимый модуль" "регулярный идеал" "тело"}}