====== Точный модуль ======
===== Аннулятор модуля =====
Пусть R --- [[:glossary:ring|ассоциативное кольцо]] и M --- [[:glossary:module|левый модуль]]((или правый)) над R.
__Определение 1.__ **Аннулятором модуля**((module annihilator)) M в R называется [[:glossary:set|множество]] A(M)=\textrm{Ann}_R(M)=\{x\in R\vert xM=0\}.((Для правого модуля M аннулятором называется множество A(M)=\textrm{Ann}_R(M)=\{x\in R\vert Mx=0\}.))
__Пример 1.__ Если M --- тривиальный R-модуль, тогда A(M)=R.
===== Точный модуль =====
__Определение 2.__ Говорят, что M --- **точный** R **-модуль**((faithful module)), или что R действует на M точно, если A(M)=0.
__Предложение 1.__ A(M) --- [[:glossary:ring:ideal|двусторонний идеал]] кольца R. Кроме того, M --- точный R/A(M)-модуль.
Пусть a\in A(M), тогда для любого x\in R имеем (xa)M\subset x\cdot0=0 и (ax)M\subset aM=0, откуда следует, что A(M) --- двусторонний идеал.
Определим структуру левого R/A(M)-модуля на M по правилу: \overline{x}m=xm для любого \overline{x}\in R/A(M) и m\in M. Это действие корректно определено, так как если y --- другой представитель класса \overline{x}, то x-y\in A(M), откуда (x-y)m=0, а значит, \overline{x}m=\overline{y}m.
Пусть \overline{x}\in R/A(M), причем \overline{x}M=0. Последнее означает, что xM=0, то есть x\in A(M), поэтому \overline{x}=0.
__Предложение 2.__ [[:glossary:ring|Факторкольцо]] R/A(M) [[:glossary:morphism:ring|изоморфно]] [[:glossary:ring|подкольцу]] [[:glossary:module:irreducible|кольца эндоморфизмов абелевой группы]] \textrm{End}_{\mathbb{Z}}(M).
Рассмотрим отображение T\colon R\rightarrow\textrm{End}_{\mathbb{Z}}(M)\colon a\mapsto T_a, где T_a --- эндоморфизм абелевой группы M, определенный правилом T_a(m)=a\cdot m. Очевидно, что T --- [[:glossary:morphism:ring|гомоморфизм колец]], следовательно, \textrm{im}~T --- подкольцо. Кроме того, \textrm{ker}~T=A(M).
__Следствие 1.__ Пусть M --- точный левый R-модуль, тогда R можно рассматривать как подкольцо кольца \textrm{End}_{\mathbb{Z}}(M).
===== См. также =====
* [[:glossary:module:irreducible|Неприводимый модуль]]
===== Литература =====
* Херстейн И. <<Некоммутативные кольца>>, Мир, 1972.
{{tag>"абстрактная алгебра" "аннулятор модуля" "ассоциативное кольцо" "идеал" "левый модуль" "точный модуль"}}