====== Модуль над ассоциативным кольцом ====== Пусть задано [[:glossary:ring|ассоциативное кольцо]] R. ===== Левый модуль ===== __Определение 1.__ Пара (M,\mu), состоящая из [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|аддитивной]] [[:glossary:group#абелева_группа|абелевой группы]] M и [[:glossary:mapping|отображения]] \mu\colon R\times M\rightarrow M\colon(r,m)\mapsto r\cdot m, называется **левым модулем над кольцом** R, или **левым** R**-модулем**((left module)), если выполнены условия: - r\cdot(m_1+m_2)=r\cdot m_1+r\cdot m_2 для любых r\in R, m_1,m_2\in M; - (r_1+r_2)\cdot m=r_1\cdot m+r_2\cdot m для любых r_1,r_2\in R, m\in M; - r_1\cdot(r_2\cdot m)=(r_1r_2)\cdot m для любых r_1,r_2\in R, m\in M. Если кольцо R имеет [[:glossary:element:groupoid:identity|единицу]] 1, и выполнено условие 1\cdot m=m для \forall m\in M, то модуль называется **унитарным**((unitary module)), или **унитальным**((unital module)). __Пример 1.__ Пусть R --- ассоциативное кольцо и \rho --- левый идеал в R . Мы наделяем \rho естественной структурой R -модуля, определяя действие R на \rho как умножение элементов из \rho на элементы из R . __Определение 2.__ **Подмодулем**((submodule)) левого R -модуля M называется [[:glossary:group|подгруппа]] N абелевой группы M , замкнутая относительно действия кольца: R\cdot N\subseteq N. __Определение 3.__ Пусть M --- левый модуль над R и N --- подмодуль модуля M . Рассмотрим [[:glossary:group|факторгруппу]] M/N абелевой группы M по подгруппе N ; ее элементами являются множества m+N, где m\in M. Мы наделяем M/N естественной структурой R -модуля, полагая r\cdot(m+N)=r\cdot m+N для любых m+N\in M/N и r\in R. Полученный модуль называется **фактормодулем**((factor module, quotient module)) модуля M по подмодулю N . __Пример 2.__ Пусть R --- ассоциативное кольцо и \rho --- левый идеал в R . Пусть, кроме того, R/\rho --- факторгруппа R по \rho, где R и \rho рассматриваются как аддитивные группы; ее элементами являются множества x+\rho, где x\in R. Мы наделяем R/\rho естественной структурой R -модуля, полагая r(x+\rho)=rx+\rho для любых x+\rho\in R/\rho и r\in R. ===== Правый модуль ===== __Определение 1'.__ Пара (M,\mu), состоящая из аддитивной абелевой группы M и отображения \mu:M\times R\rightarrow M:(m,r)\mapsto m\cdot r, называется **правым модулем над кольцом** R, или **правым** R**-модулем**((right module)), если выполнены условия: - (m_1+m_2)\cdot r=m_1\cdot r+m_2\cdot r для любых r\in R, m_1,m_2\in M; - m\cdot(r_1+r_2)=m\cdot r_1+m\cdot r_2 для любых r_1,r_2\in R, m\in M; - m\cdot(r_1r_2)=(m\cdot r_1)\cdot r_2 для любых r_1,r_2\in R, m\in M. __Пример 1'.__ Пусть R --- произвольное кольцо и \rho --- правый идеал в R. Мы наделяем \rho естественной структурой R-модуля, определяя действие R на \rho как умножение элементов из \rho на элементы из R. __Определение 2'.__ **Подмодулем**((submodule)) правого R -модуля M называется подгруппа N абелевой группы M, замкнутая относительно действия кольца: N\cdot R\subseteq N. __Определение 3'.__ Пусть M --- правый модуль над R и N --- подмодуль модуля M. Рассмотрим факторгруппу M/N абелевой группы M по подгруппе N; ее элементами являются множества m+N, где m\in M. Мы наделяем M/N естественной структурой R -модуля, полагая (m+N)\cdot r=m\cdot r+N для любых m+N\in M/N и r\in R. Полученный модуль называется **фактормодулем**((factor module, quotient module)) модуля M по подмодулю N. __Пример 2'.__ Пусть R --- ассоциативное кольцо и \rho --- правый идеал в R. Пусть, кроме того, R/\rho --- факторгруппа R по \rho, где R и \rho рассмитраваются как аддитивные группы; ее элементами являются множества x+\rho, где x\in R. Мы наделяем R/\rho естественной структурой R-модуля, полагая (x+\rho)r=xr+\rho для любых x+\rho\in R/\rho и r\in R. ===== Замечания ===== __Замечание 1.__ Обозначим через (R^o,\ast) кольцо, полученное из (R,\cdot) заменой операции умножения: положим для x,y\in R^o их произведение равным x\ast y=y\cdot x. Кольцо R^o называется кольцом, **противоположным**((opposite ring)) к R. Тогда **правый модуль** над ассоциативным кольцом R --- это левый модуль над противоположным кольцом R^o. Вообще все понятия, сформулированные для правых модулей, аналогичны соответствующим понятиям для левых модулей и получаются лишь заменой кольца на противоположное. Запись элементов кольца справа при действии на правый модуль только лишь удобная условность. __Замечание 2.__ Если кольцо R [[:glossary:ring|коммутативно]], то R^o=R, и разницы между левыми и правыми модулями нет. ===== Бимодуль ===== __Определение 5.__ Пусть на абелевой группе M заданы структуры левого и правого R-модуля, причем r_1\cdot(m\cdot r_2)=(r_1\cdot m)\cdot r_2 для всех r_1,r_2\in R, m\in M. Тогда M называется **бимодулем** над кольцом R. ===== См. также ===== * [[:glossary:space:linear|Векторное пространство]] * [[:glossary:morphism:module|Гомоморфизм модулей]] * [[:glossary:module:irreducible|Неприводимый модуль]] * [[:glossary:module:faithful|Точный модуль]] ===== Литература ===== * Херстейн И. <<Некоммутативные кольца>>, Мир, 1972. {{tag>"абстрактная алгебра" "абелева группа" "ассоциативное кольцо" "бимодуль" "левый модуль" "модуль" "подгруппа" "подмодуль" "правый модуль" "противоположное кольцо" "унитарный модуль" "факторгруппа" "фактормодуль" "централизатор кольца"}}