====== Ранг матрицы ======
проверено
===== Горизонтальный и вертикальный ранг =====
Пусть F --- [[:glossary:field|поле]], и A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix} --- [[:glossary:matrix|матрица]] порядка m\times n с коэффициентами из F .
__Определение 1.__ Рассмотрим n -мерные [[:glossary:space:linear|вектора]], составленные из строк матрицы A :
A_1=\begin{pmatrix}a_{11}, & a_{12}, & \ldots, & a_{1n}\end{pmatrix},\\ A_2=\begin{pmatrix}a_{21}, & a_{22}, & \ldots, & a_{2n}\end{pmatrix},\\ ...\\ A_m=\begin{pmatrix}a_{m1}, & a_{m2}, & \ldots, & a_{mn}\end{pmatrix}.
Максимальное количество [[:glossary:dependent:linear|линейно независимых]] векторов системы \{A_1,A_2,\ldots,A_m\} называется **горизонтальным рангом**((row rank of matrix)) матрицы A .
__Определение 2.__ Рассмотрим m -мерные вектора, составленные из столбцов матрицы A :
A^1=\begin{pmatrix}a_{11}\\ a_{21}\\ \ldots\\ a_{m1}\end{pmatrix}, A^2=\begin{pmatrix}a_{12}\\ a_{22}\\ \ldots\\ a_{m2}\end{pmatrix}, ..., A^n=\begin{pmatrix}a_{1n}\\ a_{2n}\\ \ldots\\ a_{mn}\end{pmatrix}.
Максимальное количество линейно независимых векторов системы \{A^1,A^2,\ldots,A^n\} называется **вертикальным рангом**((column rank of matrix)) матрицы A .
__Пример 1.__ Рассмотрим матрицу A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\0 & 1 & 2\end{pmatrix}. Вертикальный ранг A равен 2, так как вектор-столбец A^3 является линейной комбинацией линейно независимых векторов A^1 и A^2: A^3=2A^2-A^1.
===== Элементарные преобразования матрицы =====
__Определение 3.__ **Элементарными преобразованиями**((elementary matrix transformations)) строк матрицы называются преобразования следующих трех типов:
- перестановка двух строк,
- прибавление к одной строке другой, умноженной на число,
- умножение строки матрицы на ненулевое число.
__Предложение 1.__ Элементарные преобразования строк матрицы не меняют ее горизонтальный ранг.
__Определение 4.__ Матрица называется **ступенчатой**((row echelon form)), если
- Номера первых ненулевых элементов в строках матрицы образуют строго возрастающую последовательность,
- Нулевые строки матрицы, если они есть, стоят в конце.
Таким образом, ступенчатая матрица имеет вид
{{ :glossary:matrix:matrix.jpg?200 |Ступенчатая матрица}}
__Предложение 2.__ Горизонтальный ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.
__Предложение 3.__ Каждую матрицу путем элементарных преобразований строк можно привести к ступенчатому виду.
__Пример 2.__ Приведем матрицу \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\1 & 3 & 2 & -1 & 4\\2 & 1 & -1 & 3 & -2\\2 & 0 & -2 & 3 & 1\end{pmatrix} к ступенчатому виду. Прибавив к строкам 2, 3, 4 первую строку, умноженную на -1, -2, -2, соответственно, получим матрицу \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1 & -1 & 2\\0 & -3 & -3 & 3 & -6\\0 & -4 & -4 & 3 & -3\end{pmatrix}. Прибавляя к строкам 3 и 4 вторую строку, умноженную на 3 и 4, соответственно, получим \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1 & -1 & 2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 5\end{pmatrix}. Переставляя две последние строки, получаем матрицу ступенчатого вида \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1 & -1 & 2\\0 & 0 & 0 & -1 & 5\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}. Горизонтальный ранг этой матрицы равен 3, поэтому горизонтальный ранг исходной матрицы также равен 3.
===== Минорный ранг =====
__Определение 5.__ Число r называется **минорным рангом**((minor rank)) матрицы A , если
- найдется ненулевой [[:glossary:matrix:theorem:laplace#минор|минор]] порядка r матрицы A ,
- все миноры матрицы A порядка r+1 нулевые.
__Пример 3.__ Найдем минорный ранг матрицы \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\1 & 3 & 2 & -1 & 4\\2 & 1 & -1 & 3 & -2\\2 & 0 & -2 & 3 & 1\end{pmatrix}.
Будем использовать **метод окаймляющих миноров**.
Выберем ненулевой минор M_1=1 порядка 1, построенный на первой строке и первом столбце матрицы.
Найдем ненулевой минор второго порядка M_2, окаймляющий M_1, то есть содержащий первую строку и первый столбец матрицы. Например, M_2=\begin{vmatrix}1 & 0\\1 & -1\end{vmatrix}=-1, построенный на 1-й и 2-й строках, 1-м и 4-м столбцах.
Далее ищем ненулевой минор третьего порядка M_3, окаймляющий M_2. Добавим к 1-й и 2-й строкам 4-ю строку, а к 1-му и 4-му столбцам --- 2-й столбец. Получим M_3=\begin{vmatrix}1 & 2 & 0\\1 & 3 & -1\\ 2 & 0 & 3\end{vmatrix}=-1.
Перебираем окаймляющие миноры 4-го порядка:\\
на 1-й, 2-й, 3-й, 4-й строках и 1-м, 2-м, 3-м, 4-м столбцах: \begin{vmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\1 & 3 & 2 & -1\\2 & 1 & -1 & 3 \\2 & 0 & -2 & 3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & -1\\0 & -3 & -3 & 3 \\0 & -4 & -4 & 3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 1 & -1\\-3 & -3 & 3 \\-4 & -4 & 3\end{vmatrix}=0,
на 1-й, 2-й, 3-й, 4-й строках и 1-м, 2-м, 4-м, 5-м столбцах: \begin{vmatrix}1 & 2 & 0 & 2\\1 & 3 & -1 & 4\\2 & 1 & 3 & -2\\2 & 0 & 3 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 & 0 & 2\\0 & 1 & -1 & 2\\0 & -3 & 3 & -6\\0 & -4 & 3 & -3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & -1 & 2\\-3 & 3 & -6\\-4 & 3 & -3\end{vmatrix}=0.
То есть все окаймляющие миноры четвертого порядка равны нулю, а минор третьего порядка M_3 ненулевой, поэтому минорный ранг матрицы равен 3.
__Теорема 1.__ Для матрицы A ее минорный, горизонтальный и вертикальный ранг равны.
__Определение 6.__ Число, равное горизонтальному, вертикальному или минорному рангу матрицы A , называется **рангом**((rank)) матрицы A и обозначается через r(A).
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/1255737/?partner=lds1938|Винберг Э.Б. «Курс алгебры», Факториал, 2002.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/946527/?partner=lds1938|Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Линейная алгебра», Наука, 1999.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/7631501/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Линейная алгебра», МЦНМО, 2012.]]
{{tag>"линейная алгебра" "вертикальный ранг" "горизонтальный ранг" "матрица" "матрица ступенчатого вида" "метод окаймляющих миноров" "минорный ранг" "ранг матрицы" "элементарное преобразование матрицы"}}