====== Определитель матрицы ======
<wrap hide>проверено</wrap>
===== Определитель =====
Пусть <latex> A </latex> --- [[:glossary:matrix|квадратная матрица порядка]] <latex>n</latex> с коэффициентами из [[:glossary:ring|кольца]] <latex>R</latex>, 
<latex>A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{pmatrix}</latex>.

__Определение 1.__ **Определителем**((determinant)) <latex>\textrm{det}~A</latex> матрицы <latex>A</latex> называется алгебраическая сумма всевозможных произведений коэффициентов <latex>a_{ij}</latex>, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Иначе говоря, <WRAP centeralign><latex>\textrm{det}A=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}=\underset{\sigma\in S_n}{\sum}\varepsilon(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\ldots a_{n\sigma(n)}</latex>,</WRAP> где суммирование ведется по всем [[:glossary:group:permutation|подстановкам]] порядка <latex>n</latex>, <latex>\varepsilon(\sigma)</latex> --- [[:glossary:group:permutation#четность_подстановки|знак подстановки]] <latex>\sigma</latex>.

__Замечание.__ Часто определитель матрицы определяют рекурсивно, используя разложение по первой строке (частный случай [[:glossary:matrix:theorem:laplace|теоремы Лапласа]]).

__Пример 1.__ Определитель матрицы порядка 2: <latex>\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}</latex> равен <latex>a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}</latex>.

__Пример 2.__ Определитель матрицы порядка 3 вычисляется по формуле <WRAP centeralign><latex>\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{13}a_{32}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{32}a_{23}a_{11}</latex>.</WRAP>

При вычислении определителей третьего порядка полезно помнить так называемое <<правило треугольника>>: произведение элементов, соединенных линиями, на первой диаграмме берется со знаком «+» {{ :glossary:matrix:det3plus.png?100 |+}}
произведение элементов, соединенных линиями, на второй диаграмме берется со знаком «-» {{ :glossary:matrix:det3minus.png?100 |-}}
===== Свойства определителя =====
__Предложение 1.__ Определитель квадратной матрицы <latex>A</latex> и определитель [[:glossary:matrix#транспонирование|транспонированной]] к ней матрицы <latex>A^t</latex> совпадают: <latex>\textrm{det}A=\textrm{det}A^t</latex>.

__Предолжение 2.__ Если в определителе матрицы <latex>A</latex> поменять местами любые две строки, то он изменит знак на противоположный.

__Предложение 3.__ Справедливы следующие свойства:
  - <latex>\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ \lambda a_{i1} & \lambda a_{i2} & \ldots & \lambda a_{in}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}=\lambda\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{in}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}</latex>,\\
  - <latex>\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a'_{i1}+a''_{i1} & a'_{i2}+a''_{i2} & \ldots & a'_{in}+a''_{in}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a'_{i1} & a'_{i2} & \ldots & a'_{in}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a''_{i1} & a''_{i2} & \ldots & a''_{in}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}</latex>.

__Предложение 4.__ Определитель с нулевой строкой равен нулю.

__Предложение 5.__ Если в квадратной матрице <latex>A</latex> две строки совпадают, то <latex>\textrm{det}A=0</latex>.

__Предложение 6.__ Определитель не меняется, если к некоторой его строке прибавить другую строку, умноженную на ненулевой скаляр.

__Предложение 7.__ Пусть <latex>A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn}\end{pmatrix}</latex> --- [[:glossary:matrix#основные_определения|верхнетреугольная матрица]] порядка <latex>n</latex>, тогда <latex>\textrm{det}A=a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}</latex>.

__Предложение 8.__ Пусть <latex>A</latex> и <latex>B</latex> квадратные матрицы порядка <latex>n</latex>. Тогда <latex>\textrm{det}(AB)=\textrm{det}A\cdot\textrm{det}B</latex>.
===== См. также =====
  * [[:glossary:matrix|Матрица]]
  * [[:glossary:matrix:theorem:laplace|Теорема Лапласа]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/946527/?partner=lds1938|Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Линейная алгебра», Наука, 1999.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/7631501/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Линейная алгебра», МЦНМО, 2012.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]

{{tag>"линейная алгебра" "матрица" "определитель"}}