====== Матрица ====== ===== Основные определения ===== __Определение 1.__ **Матрицей**((matrix)) A размера m\times n с элементами из множества S называется семейство (a_{ij}) элементов из S, пронумерованных упорядоченными парами [[:glossary:set:integer:positive|натуральных чисел]] (i,j), где 1\leqslant i\leqslant m, 1\leqslant j\leqslant n. При этом пишут A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix} или, более кратко, A=(a_{ij}). Для фиксированного i семейство (a_{i1},\ldots,a_{in}) называется i **-й строкой**((row)) матрицы A . При фиксированном j семейство (a_{1j},\ldots,a_{nj}) называется j **-м столбцом**((column)) матрицы A . Матрица размера 1\times n называется **строкой**((row vector)), матрица размера m\times 1 --- **столбцом**((column vector)). __Определение 2.__ Матрица A размера n\times n называется **квадратной матрицей**((square matrix)) порядка n . __Определение 3.__ Пусть A --- матрица порядка n . Множество \{a_{ii}\vert1\leqslant i\leqslant n\} называется **главной диагональю**((main diagonal)) матрицы. Как правило, от множества S требуется, чтобы оно было [[:glossary:field|полем]] или [[:glossary:ring|кольцом]]. __Определение 4.__ Пусть A --- матрица порядка n . **Следом матрицы**((trace of matrix)) A называется сумма элементов на ее главной диагонали: \textrm{tr}~A=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn}. __Определение 5.__ Пусть A --- матрица порядка n с элементами из кольца R . Матрица A называется **диагональной**((diagonal)) и обозначается как \textrm{diag}(a_{11},\ldots,a_{nn}), если a_{ij}=0 при i\neq j. __Определение 6.__ Пусть A --- матрица порядка n с элементами из кольца R . Матрица A называется **верхней треугольной**((upper triangular matrix)), если a_{ij}=0 при j. __Определение 7.__ Пусть A --- матрица порядка n с элементами из кольца R . Матрица A называется **нижней треугольной**((lower triangular matrix)), если a_{ij}=0 при j>i. __Определение 8.__ Пусть A --- диагональная матрица порядка n с элементами из кольца R . Матрица A называется **скалярной**((scalar matrix)), если все ее элементы на главной диагонали одинаковы. __Определение 9.__ Скалярная матрица A порядка n с элементами из кольца R называется **единичной**((identity matrix)), если все ее элементы на главной диагонали равны 1. __Определение 10.__ Матрица A называется **симметричной**((symmetric)), если a_{ij}=a_{ji} для всех 1\leqslant i,j\leqslant n. __Определение 11.__ Матрица A называется **кососимметричной**((skewsymmetric)), если a_{ij}=-a_{ji} для всех 1\leqslant i,j\leqslant n. __Пример 1.__ Матрица вида \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix} является верхнетреугольной матрицей порядка 2. ===== Операции над матрицами ===== ==== Транспонирование ==== Пусть A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix} --- матрица порядка m\times n. __Определение 12.__ Матрица A^t=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{m1}\\a_{12} & a_{22} & \ldots &a_{m2}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{1n} & a_{2n} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix} порядка n\times m называется матрицей, **транспонированной**((transposed matrix)) к A . ==== Сложение и умножение на скаляр ==== Пусть A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix} и B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n}\\a_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn}\end{pmatrix} --- матрицы размера m\times n над кольцом R . __Определение 13.__ Матрица \end{pmatrix} размера m\times n с элементами c_{ij}=a_{ij}+b_{ij} называется **суммой матриц** A и B . __Определение 14.__ **Умножение матрицы** A **на скаляр** r\in R определяется правилом: rA=(ra_{ij}). __Предложение 1.__ Относительно введенных операций сложения и умножения на скаляр множество всех матриц размера m\times n над полем F образует [[:glossary:space:linear|векторное пространство]] [[:glossary:space:linear:basis|размерности]] mn. Векторное пространство матриц порядка n над полем F обозначается \textrm{Mat}_n(F). ==== Умножение матриц ==== Пусть A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix} и B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1q}\\a_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2q}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\b_{p1} & b_{p2} & \ldots & b_{pq}\end{pmatrix} --- матрицы над кольцом R размера m\times n и p\times q соответственно. __Определение 15.__ **Произведение матриц** A и B определено, если n=p. Результатом умножения является матрица C=AB размера m\times q с элементами c_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}. __Пример 2.__ Произведением матрицы \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix} размера m\times n и столбца \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\ldots\\x_n\end{pmatrix} является столбец \begin{pmatrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n\\\ldots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n\end{pmatrix}. __Предложение 2.__ Умножение матриц [[:glossary:operation:binary:algebraic|ассоциативно]], то есть (AB)C=A(BC), если определены AB и BC. __Пример 3.__ Умножение матриц [[:glossary:operation:binary:algebraic|не коммутативно]]: \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & -1\end{pmatrix}, что не равно \begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 0 & -1\end{pmatrix}. __Предложение 3.__ Если умножение соответствующих матриц определено, то * (A+B)C=AC+BC; * C(A+B)=CA+CB. __Предложение 4.__ Относительно матричного умножения пространство \textrm{Mat}_n(F) матриц над полем F является [[:glossary:operation:binary:algebraic#виды_бинарных_операций|ассоциативной]] [[:glossary:algebra|алгеброй]] над F . ===== См. также ===== * [[:glossary:algebra:lie:classical|Классические алгебры Ли]] * [[:glossary:matrix:map:linear|Матрица линейного отображения]] * [[:glossary:matrix:determinant|Определитель матрицы]] ===== Литература ===== * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/7631501/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Линейная алгебра», МЦНМО, 2012.]] * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2423932/?partner=lds1938|Кострикин А.И., Манин Ю.И. «Линейная алгебра и геометрия», Лань, 2008.]] {{tag>"линейная алгебра" "верхнетреугольная матрица" "диагональная матрица" "единичная матрица" "кососимметричная матрица" "матрица" "нижнетреугольная матрица" "симметричная матрица" "скалярная матрица" "след матрицы" "сложение матриц" "столбец" "строка" "умножение матриц"}}