====== Квадратичная форма на вещественном векторном пространстве ======
Пусть <latex>V</latex> --- [[:glossary:space:linear:basis|конечномерное]] [[:glossary:space:linear|векторное пространство]] над [[glossary:set:real|полем действительных чисел]] <latex>\mathbb{R}</latex>. Пусть <latex>q\colon V\rightarrow\mathbb{R}</latex> --- [[:glossary:mapping:form:quadratic:linear_space|квадратичная форма]] на <latex>V</latex>.
===== Закон инерции квадратичных форм =====
__Определение 1.__ Говорят, что квадратичная форма <latex>q</latex> в базисе <latex>\{e_1,\ldots,e_n\}</latex> имеет **нормальный вид**, если значение квадратичной формы на произвольном векторе <latex>v=v_1e_1+\ldots+v_ne_n</latex> вычисляется по формуле <WRAP centeralign><latex>q(v)=v_1^2+\ldots+v_s^2-v_{s+1}^2-\ldots-v_r^2</latex>.</WRAP>

__Предложение 1.__ В векторном пространстве <latex>V</latex> существует базис, в котором квадратичная форма <latex>q</latex> имеет нормальный вид.
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
По [[:glossary:mapping:form:quadratic:linear_space|предложению 2]] в <latex>V</latex> найдется базис <latex>\{e'_1,\ldots,e'_n\}</latex>, в котором квадратичная форма имеет [[:glossary:mapping:form:quadratic:linear_space|канонический вид]] <latex>q(v)=\lambda_1v_1^2+\ldots+\lambda_nv_n^2</latex>. Тогда, полагая <WRAP centeralign><latex>e_i=\begin{cases}e'_i/\sqrt{|\lambda_i|}, & \lambda_i\neq0\\e'_i, & \lambda_i=0\end{cases}</latex>,</WRAP> получим, что <WRAP centeralign> <latex>q(e_i)=\begin{cases}q(e'_i/\sqrt{|\lambda_i|})=q(e'_i)/|\lambda_i|=\lambda_i/|\lambda_i|=\pm1, & \lambda_i\neq0\\q(e'_i)=0, & \lambda_i=0\end{cases}</latex>.</WRAP> Меняя, если это необходимо, индексы базисных векторов, мы добъемся нормального вида квадратичной формы.
</hidden> 

__Предложение 2.__ Индексы <latex>r</latex> и <latex>s</latex> в нормальном виде квадратичной формы <WRAP centeralign><latex>q(v)=v_1^2+\ldots+v_s^2-v_{s+1}^2-\ldots-v_r^2</latex></WRAP> не зависят от способа приведения формы к нормальному виду.

__Определение 2.__ В нормальном виде квадратичной формы <WRAP centeralign><latex>q(v)=v_1^2+\ldots+v_s^2-v_{s+1}^2-\ldots-v_r^2</latex></WRAP>
  - число <latex>s</latex> называется **положительным индексом инерции**;
  - число <latex>r-s</latex> --- **отрицательным индексом инерции**;
  - число <latex>r</latex> --- **индексом инерции**;
  - пара <latex>(s,r-s)</latex> называется **сигнатурой** квадратичной формы.
===== Положительная определенность =====
__Определение 3.__ Квадратичная форма называется **невырожденной**, если ее [[:glossary:mapping:form:quadratic:linear_space|ранг]] равен [[:glossary:space:linear:basis|размерности]] <latex>\textrm{dim}_{\mathbb{R}}V</latex>.

__Определение 4.__ Квадратичная форма называется
  - **положительно определенной**, если <latex>q(v)>0</latex> для всех ненулевых <latex>v\in V</latex>;
  - **отрицательно определенной**, если <latex>q(v)<0</latex> для всех ненулевых <latex>v\in V</latex>;
  - **положительно полуопределенной**, если <latex>q(v)\geqslant0</latex> для всех <latex>v\in V</latex>;
  - **отрицательно полуопределенной**, если <latex>q(v)\leqslant0</latex> для всех <latex>v\in V</latex>;
  - **неопределенной**, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

__Пример 1.__ Пусть <latex>q\colon V\rightarrow\mathbb{R}</latex> имеет в некотором [[::glossary:space:linear:basis|базисе]] <latex>\{e_1,\ldots,e_n\}</latex> нормальный вид <latex>q(v)=v_1^2+v_2^2+\ldots+v_n^2</latex>, тогда <latex>q</latex> положительно определена.
===== См. также =====
  * [[:glossary:mapping:form:quadratic|Квадратичная форма]]
  * [[:glossary:mapping:form:quadratic:linear_space|Квадратичная форма на векторном пространстве]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/946527/?partner=lds1938|Ильин В.А., Позняк Я.Г. «Линейная алгебра», Физматлит, 2010.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/7631501/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Линейная алгебра», МЦНМО, 2012.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2423932/?partner=lds1938|Кострикин А.И., Манин Ю.И. «Линейная алгебра и геометрия», Лань, 2008.]]

{{tag>"линейная алгебра" "билинейная форма" "канонический вид квадратичной формы" "квадратичная форма" "матрица квадратичной формы" "ранг квадратичной формы"}}