====== Квадратичная форма на векторном пространстве ======
===== Определение =====
Пусть <latex>V</latex> --- [[:glossary:space:linear|векторное пространство]] над полем <latex>F</latex> [[:glossary:field:characteristic|характеристики]] <latex>\textrm{char}~F\neq2</latex>.

В этом случае более общее понятие [[:glossary:mapping:form:quadratic|квадратичной формы на модуле]] удобно переформулировать следующим образом.

__Определение 1.__ **Квадратичной формой**((quadratic form)) на векторном пространстве <latex>V</latex> называется [[:glossary:mapping|отображение]] <latex>q\colon V\rightarrow F</latex>, определяемое некоторой [[:glossary:mapping:bilinear#билинейная_форма|симметричной билинейной формой]] <latex>f</latex> на <latex>V</latex>: <WRAP centeralign><latex>q(v)=f(v,v)</latex> для всех <latex>v\in V</latex>.</WRAP> Билинейная форма <latex>f</latex> при этом называется **полярной**((polar form)) к квадратичной форме <latex>q</latex>.

__Замечание.__ Очевидно, что это определение является частным случаем понятия квадратичной формы на модуле из статьи [[:glossary:mapping:form:quadratic|Квадратичная форма]]. Но верно и обратное, если <latex>q'</latex> --- квадратичная форма в «более общем» смысле, то полагая <latex>f(u,v)=1/2\varphi(u,v)=1/2(q'(u+v)-q'(u)-q'(v))</latex>, мы убеждаемся, что <latex>q(v)=f(v,v)=q'(v)</latex>. Таким образом, для векторных пространств над полем, характеристика которого отлична от 2, эти определения эквивалентны. Кроме того, существует взаимно однозначное соответствие между квадратичными формами на и симметричными билинейными формами на <latex>V</latex>.
===== Матрица квадратичной формы =====
__Определение 2.__ Пусть <latex>q</latex> --- квадратичная форма на [[:glossary:space:linear:basis|конечномерном]] векторном пространстве <latex>V</latex>. **Матрицей квадратичной формы**((matrix of quadratic form)) <latex>q</latex> относительно [[:glossary:space:linear:basis|базиса]] <latex>\{e_1,\ldots,e_n\}</latex> пространства <latex>V</latex> называется [[:glossary:mapping:bilinear#матрица_билинейной_формы|матрица билинейной формы]] <latex>f</latex>, где <latex>f</latex> --- полярная к <latex>q</latex> билинейная форма, то есть <WRAP centeralign><latex>A_q=A_f=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{pmatrix}</latex>, где <latex>a_{ij}=f(e_i,e_j)</latex>.</WRAP>

Если в базисе <latex>\{e_1,\ldots,e_n\}</latex> вектор <latex>v</latex> имеет разложение <latex>v=v_1e_1+v_2e_2+\ldots+v_ne_n</latex>, то <WRAP centeralign><latex>q(v)=f(v,v)=\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & \ldots & v_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ \ldots\\ v_n\end{pmatrix}=\sum_{i,j}a_{ij}v_iv_j</latex>.</WRAP>

__Определение 3.__ **Рангом квадратичной формы**((quadratic form rank)) <latex>q</latex> называется [[:glossary:matrix:rank|ранг матрицы]] <latex>A_q</latex> в некотором базисе.

__Предложение 1.__ Ранг квадратичной формы не зависит от выбора базиса в пространстве <latex>V</latex>.

__Определение 4.__ Говорят, что квадратичная форма <latex> q </latex> на конечномерном векторном пространстве <latex>V</latex> имеет в базисе <latex>\{e_1,\ldots,e_n\}</latex> **канонический вид**((canonical form)), если матрица <latex>A_q=(a_{ij})</latex> квадратичной формы в этом базисе [[:glossary:matrix|диагональна]], то есть <latex>q(v)=\sum_ia_{ii}v_i^2</latex> для каждого вектора <latex>v=v_1e_1+\ldots+v_ne_n\in V</latex>.

__Предложение 2.__ Пусть <latex>q</latex> --- квадратичная форма на конечномерном векторном пространстве <latex>V</latex> над полем <latex>F</latex>. Тогда в <latex>V</latex> существует базис <latex>\{e_1,\ldots,e_n\}</latex>, в котором <latex>q</latex> имеет канонический вид <WRAP centeralign><latex>q(v)=\lambda_1v_1^2+\ldots+\lambda_nv_n^2</latex>.</WRAP>
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
Конструктивное построение такого базиса приводится ниже.
</hidden>
===== Приведение квадратичной формы к каноническому виду =====
''В процессе...''
===== См. также =====
  * [[:glossary:mapping:form:quadratic:linear_space:real|Квадратичная форма на вещественном векторном пространстве]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/7631501/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Линейная алгебра», МЦНМО, 2012.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2423932/?partner=lds1938|Кострикин А.И., Манин Ю.И. «Линейная алгебра и геометрия», Лань, 2008.]]

{{tag>"линейная алгебра" "билинейная форма" "канонический вид квадратичной формы" "квадратичная форма" "матрица квадратичной формы" "ранг квадратичной формы"}}