====== Билинейное отображение ======
<wrap hide>проверено. единицы вроде как не требуется</wrap>
===== Определение =====
Пусть <latex> R </latex> --- [[:glossary:ring|ассоциативное коммутативное кольцо]], <latex>M,N,L</latex> --- [[:glossary:module#левый_модуль|(левые)]] <latex> R </latex>[[:glossary:module#левый_модуль|-модули]].((В частности, <latex>M,N,L</latex> --- [[:glossary:space:linear|векторные пространства]] над [[:glossary:field|полем]] <latex> R </latex>.))

__Определение 1.__ [[:glossary:mapping|Отображение]] <latex>\varphi\colon M\times N\rightarrow L</latex> называется **билинейным**((bilinear mapping)), если оно <latex> R </latex>[[:glossary:morphism:module|-линейно]] по каждому аргументу, то есть
  * <latex>\varphi(m_1+m_2,n)=\varphi(m_1,n)+\varphi(m_2,n)</latex> для <latex>\forall m_1,m_2\in M</latex> и <latex>\forall n\in N</latex>
  * <latex>\varphi(rm,n)=r\varphi(m,n)</latex> для <latex>\forall r\in R</latex>, <latex>\forall m\in M</latex>, <latex>\forall n\in N</latex>
  * <latex>\varphi(m,n_1+n_2)=\varphi(m,n_1)+\varphi(m,n_2)</latex> для <latex>\forall m\in M</latex> и <latex>\forall n_1,n_2\in N</latex>
  * <latex>\varphi(m,rn)=r\varphi(m,n)</latex> для <latex>\forall r\in R</latex>, <latex>\forall m\in M</latex>, <latex>\forall n\in N</latex>

__Пример 1.__ Рассмотрим <latex> R </latex>-линейное отображение <latex>R\times R\rightarrow R</latex>, определенное правилом <latex>(r_1,r_2)\mapsto r_1\cdot r_2</latex>. Такое отображение является билинейным, что следует из аксиом ассоциативного кольца.
===== Билинейная форма =====
Пусть <latex> R </latex> --- ассоциативное коммутативное кольцо, <latex>M,N</latex> --- (левые) <latex> R </latex>-модули.

__Определение 2.__ Билинейное отображение <latex>\varphi\colon M\times N\rightarrow R</latex> в кольцо <latex> R </latex> называется **билинейной формой**((bilinear form)) на <latex>M\times N</latex>, а также **спариванием**((pairing)) между <latex> M </latex> и <latex> N </latex>.

__Замечание.__ Как правило рассматривается случай, когда <latex>M=N</latex>, при этом говорят о билинейной форме на <latex> M </latex>.

__Определение 3.__ Если билинейная форма <latex>\varphi</latex> на модуле <latex> M </latex> удовлетворяет условию <latex>\varphi(m_1,m_2)=\varphi(m_2,m_1)</latex>, то она называется **симметрической**((symmetric bilinear form)).

__Определение 4.__ Если билинейная форма <latex>\varphi</latex> на модуле <latex> M </latex> удовлетворяет условию <latex>\varphi(m_1,m_2)=-\varphi(m_2,m_1)</latex>, то она называется **кососимметрической**((skewsymmetric bilinear form)).
===== Матрица билинейной формы =====
В случае, когда <latex> M </latex> и <latex> N </latex> --- [[:glossary:module:free|свободные]] <latex> R </latex>-модули, билинейная форма однозначно определяется своими значениями на [[:glossary:module:free|базисных элементах]] модулей.

__Определение 5.__ Пусть <latex> M </latex> и <latex> N </latex> --- конечномерные свободные <latex> R </latex>-модули с базисами <latex>\{e_1,\ldots,e_m\}</latex> и <latex>\{f_1,\ldots,f_n\}</latex>, соответственно. **Матрицей билинейной формы**((matrix of bilinear form)) <latex>\varphi\colon M\times N\rightarrow R</latex> называется [[:glossary:matrix|матрица]] <WRAP centeralign><latex>A_{\varphi}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}</latex>, где <latex>a_{ij}=\varphi(e_i,f_j)</latex>.</WRAP>

__Предложение 1.__ Если элементы модулей <latex>x\in M</latex> и <latex>y\in N</latex> определены координатами в выбранных базисах, <latex>x=x_1e_1+\ldots+x_me_m</latex>, <latex>y=y_1f_1+\ldots+y_nf_n</latex>, то <WRAP centeralign><latex>\varphi(x,y)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \ldots & x_m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\ y_2\\ \ldots\\ y_n\end{pmatrix}=\sum_{i,j}a_{ij}x_iy_j</latex>.</WRAP>
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/4047047/?partner=lds1938|Бурбаки Н. «Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра», Наука, 1965.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2423932/?partner=lds1938|Кострикин А.И., Манин Ю.И. «Линейная алгебра и геометрия», Лань, 2008.]]

{{tag>"линейная алгебра" "ассоциативное кольцо" "билинейная форма" "билинейное отображение" "кососимметрическая билинейная форма" "линейное отображение" "матрица билинейной формы" "модуль" "симметрическая билинейная форма" "спаривание"}}