====== Отображение ======
проверено
===== Определение =====
Пусть A и B --- фиксированные [[:glossary:set|множества]].
__Определение 1.__ [[:glossary:relation:binary|Бинарное отношение]] f \subseteq A \times B называют **отображением**((mapping)), или **функцией**((function)) из множества A в множество B и обозначают f:A \rightarrow B, если
* для любых x,y,z из условий (x,y) \in f и (x,z) \in f следует, что y=z.
При этом вместо (x,y)\in f обычно пишут f(x)=y. Множество \textrm{dom}~f=\{x\in A\vert\exists y\in B:(x,y)\in f\} называется **областью определения отображения**((domain)), а множество \textrm{cod}~f=B --- **областью значений**((codomain)).
__Замечание 1.__ Как правило, подразумевается, что область значений \textrm{dom}~f=A. Но для этого к определению функции необходимо добавлять еще одно условие
* для каждого x\in A найдется такой y\in B, что (x,y)\in f.
===== Образ и прообраз =====
__Определение 2.__ Элемент f(a) называется **образом элемента** a.
__Определение 3.__ Множество \textrm{im}~f = \{b\in B\vert(\exists a\in A:f(a)=b)\}=f(A)\subset B. называется **образом при отображении** f.
__Определение 4.__ **Прообразом элемента** b называется множество f^{-1}(b)=\{a\in A\vert(f(a)=b)\}\subset A. Если B_0\subset B, то f^{-1}(B_0) = \{ a \in A \vert (f(a)\in B_0) \}\subset A.
===== Виды отображений =====
__Определение 5.__ Отображение \textrm{id}_X\colon X\rightarrow X на множестве X, для которого \textrm{id}_X(x)=x для любого x\in X называют **тождественным отображением**((identity mapping)).
__Определение 6.__ Будем говорить, что отображение f --- **инъективно**((injective mapping)), если из x\neq y следует, что f(x)\neq f(y). Другими словами, отображение f инъективно тогда и только тогда, когда прообраз каждого [[:glossary:set|элемента]] y\in B состоит не более, чем из одного элемента.
__Предложение 1.__ Отображение f\colon A\rightarrow B инъективно тогда и только тогда, когда оно имеет левое обратное((относительно операции --- [[:glossary:mapping:composite|композиции отображений]])), то есть существует g\colon B\rightarrow A такое, что g\circ f=\textrm{id}_A.
__Определение 7.__ Будем говорить, что f **сюръективно**((surjection)), если для каждого b\in B существует элемент a\in A такой, что f(a)=b. Другими словами, f сюръективно тогда и только тогда, когда каждый элемент b\in B имеет непустой прообраз.
__Предложение 2.__ Отображение f\colon A\rightarrow B сюръективно тогда и только тогда, когда оно имеет правое обратное((относительно операции --- композиции отображений)), то есть существует g\colon B\rightarrow A такое, что f\circ g=\textrm{id}_B.
__Определение 8.__ Будем говорить, что f --- **биективно**((bijective mapping)), или **взаимно однозначно**((biunique, one-for-one, one-one, one-to-one)), если оно одновременно инъективно и сюръективно.
__Предложение 3.__ Отображение f биективно тогда и только тогда, когда оно имеет обратное((относительно операции --- композиции отображений)).
===== Примеры =====
* Если B\subset\mathbb{R}, то функция называется **вещественнозначной**((real valued function)).
* Числовая последовательность \{a_n\} является отображением из \mathbb{N} в \mathbb{R}.
* \sin x является отображением из \mathbb{R} в [-1,1].
* Пусть A,~B\subseteq\mathbb{R}, а f:A\rightarrow B таково, что f(x)=x^2, тогда если A=\mathbb{R}_+, а B=\mathbb{R}, то отображение f инъективно.
* Если в предыдущем примере положить A=\mathbb{R}, то отображение f не будет инъективным.
* Пусть A,~B\subseteq\mathbb{R}, а f:A\rightarrow B таково, что f(x)=x^2, тогда если A=\mathbb{R}, а B=\mathbb{R}_+, то отображение f сюръективно.
* Если в предыдущем примере положить B=\mathbb{R}, то отображение f не будет сюръективным.
* Пусть A,~B\subseteq\mathbb{R}, а f:A\rightarrow B таково, что f(x)=x^2, тогда если A=B=\mathbb{R}_+, то отображение f биективно.
* Если в предыдущем примере положить A=\mathbb{R}, то отображение f не будет биективным.
===== См. также =====
* [[:glossary:mapping:composite|Композиция отображений]]
===== Литература =====
* Гордон Е.И., Полотовский Г.М. «Мощность бесконечных множеств», Издательство ННГУ, 1998.
* Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.
* Кудрявцев Л.Д. «Курс математического анализа», т.1, Высшая школа, 1981.
* Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.
{{tag>"теория множеств" "биективное отображение" "вещественнозначная функция" "инъективное отображение" "образ при отображении" "отображение" "прообраз элемента" "сюръективное отображение" "тождественное отображение" "функция"}}