====== Стандартный комплекс ======
===== Определение =====
Пусть <latex>A</latex> --- [[:glossary:algebra|ассоциативная алгебра с единицей]] над [[:glossary:ring#коммутативное_кольцо|коммутативным кольцом]] <latex>K</latex>.

__Определение 1.__ Пусть <latex>C'_n=A^{\otimes(n+2)}</latex> --- <latex>(n+2)</latex>-кратное [[:glossary:module:product:tensor#тензорное_произведение_модулей_над_коммутативным_кольцом|тензорное произведение]] и <latex>d'_n\colon C'_n\rightarrow C'_{n-1}</latex> --- [[:glossary:morphism:module|гомоморфизм]] <latex>K</latex>-модулей, определенный формулой <WRAP centeralign><latex>d'_n(a_0\otimes a_1\otimes\ldots\otimes a_n)=\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^na_0\otimes a_1\otimes\ldots\otimes a_ia_{i+1}\otimes\ldots\otimes a_n</latex>.</WRAP>
[[:glossary:homology:complex|Комплекс]] <WRAP centeralign><latex>\ldots\stackrel{d'_{n+1}}{\longrightarrow}A^{\otimes (n+2)}\stackrel{d'_n}{\longrightarrow}A^{\otimes n}\stackrel{d'_{n-1}}{\longrightarrow}\ldots\stackrel{d'_1}{\longrightarrow}A^{\otimes 2}</latex></WRAP> называется **стандартным комплексом**((bar complex)) алгебры <latex>A</latex>.

__Предложение 1.__ Если <latex>A</latex> --- [[:glossary:module:projective:left|проективный]] <latex>K</latex>-модуль и <latex>\mu\colon A\otimes A\rightarrow A</latex> --- умножение в <latex>A</latex>, то пара <latex>(C',\mu)</latex> --- [[:glossary:homology:complex:resolution#левая_резольвента|левая резольвента]] модуля <latex>A</latex>, то есть [[:glossary:module:left:sequence:exact|точна]] последовательность <WRAP centeralign><latex>\ldots\stackrel{d'_{n+1}}{\longrightarrow}A^{\otimes (n+2)}\stackrel{d'_n}{\longrightarrow}A^{\otimes n}\stackrel{d'_{n-1}}{\longrightarrow}\ldots\stackrel{d'_1}{\longrightarrow}A^{\otimes 2}\stackrel{\mu}{\longrightarrow}A\rightarrow0</latex>.</WRAP>
===== Гомологии ассоциативной алгебры =====
__Определение 2.__ [[:glossary:homology|Гомологии]] стандартного [[:glossary:homology|комплекса]] алгебры <latex>A</latex> называют **гомологиями ассоциативной** <latex>K</latex>**-алгебры**((homology of associative algebra)) <latex>A</latex> и обозначают <latex>H_*(A,A)</latex>.
===== См. также =====
  * [[:glossary:homology:complex:hochschield|Гомологии Хохшильда]]
===== Литература =====
  * Картан А., Эйленберг С. <<Гомологическая алгебра>>, Иностранная литература, 1960.

{{tag>"гомологическая алгебра" "гомологии алгебры" "стандартный комплекс"}}