====== Гомологии комплекса ======
<wrap hide></wrap>
===== Группа гомологий =====
Пусть <latex>R</latex> --- [[:glossary:ring|ассоциативное кольцо]], и <latex>C</latex> --- [[:glossary:homology:complex|комплекс]] <latex>R</latex>[[:glossary:module|-модулей]]((левых, правых или бимодулей)): <WRAP centeralign><latex>\ldots\stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}C_n\stackrel{d_n}{\longrightarrow}C_{n-1}\stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow}\ldots\stackrel{d_2}{\longrightarrow}C_1\stackrel{d_1}{\longrightarrow}C_0\stackrel{d_0}{\longrightarrow}C_{-1}\stackrel{d_{-1}}{\longrightarrow}\ldots</latex>.</WRAP>


__Определение 1.__ Множество <latex>Z_n=\textrm{Ker}~d_n</latex> называется модулем <latex>n</latex>-**циклов**, а <latex>Z(C)=\underset{n\in\mathbb{Z}}{\bigoplus}Z_n</latex> --- модулем циклов. Элементы этого модуля, соответственно, называются **циклами**.

__Определение 2.__ Множество <latex>B_n=\textrm{Im}~d_{n-1}</latex> называется модулем <latex>n</latex>-**границ**, <latex>B(C)=\underset{n\in\mathbb{Z}}{\bigoplus}B_n</latex> --- модулем границ. Его элементы называют **границами**.

Из условия <latex>d_{n-1}\circ d_n=0</latex> следует, что <latex>B_n\subseteq Z_n</latex>.

__Определение 3.__ Фактормодуль <latex>H_n(C)=Z_n/B_n</latex> называется <latex>n</latex>-й **группой гомологий**. Группа <latex>H(C)=\underset{n\in\mathbb{Z}}{\bigoplus}H_{n}(C) </latex> называется **группой гомологий**((homology group)) комплекса <latex>C</latex>.

__Пример 1.__ Пусть <latex>X</latex> --- топологическое пространство. Определим неотрицательный комплекс <latex>C(X,R)</latex>, полагая, что <latex>C(X,R)_n</latex> --- это <latex>R</latex>-модуль, порожденный <latex>n</latex>-мерными сингулярными симплексами <latex>f\colon\Delta^n\rightarrow X</latex>, то есть <WRAP centeralign><latex>C(X,R)_n=\{\sum\alpha_if_i|\alpha_i\in R,f_i\colon\Delta^n\rightarrow X\}</latex>, где сумма предполагается конечной.</WRAP>
Пусть <latex>\varepsilon_i\colon\Delta^{n-1}\rightarrow\Delta^n</latex>,<latex>i\in\{0,1,\ldots,n\}</latex> --- линейное отображение, определенное формулой <WRAP centeralign><latex>\varepsilon_i(e_k)=\begin{cases}e_k,\quad k<i,\\e_{k+1},k\geqslant i.\end{cases}</latex></WRAP> Тогда дифференциал <latex>d_n\colon C(X,R)_n\rightarrow C(X,R)_{n-1}</latex> задается действием на сингулярном симплексе <latex>f</latex> формулой <WRAP centeralign><latex>d_n(f)=\underset{i=0}{\overset{n}{\sum}}(-1)^if\circ\varepsilon_i</latex>.</WRAP> Группа гомологий комплекса <WRAP centeralign><latex>\ldots\stackrel{d_{n+1}}{\rightarrow}C(X,R)_n\stackrel{d_n}{\rightarrow}\ldots\stackrel{d_1}{\rightarrow}C_0\stackrel{d_0}{\rightarrow}0</latex></WRAP> называется группой сингулярных гомологий.

__Определение 4.__ Комплекс <latex>C</latex> с тривиальной группой гомологий <latex>H(C)</latex> называется **ацикличным**((acyclic complex)).
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/4047047/?partner=lds1938|Бурбаки Н. «Алгебра. Гомологическая алгебра», Наука, 1987.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/3996185/?partner=lds1938|Прасолов В.В. «Элементы теории гомологий», МЦНМО, 2006.]]

{{tag>"гомологическая алгебра" "группа гомологий" "комплекс" "сингулярные гомологии"}}