====== Факторгруппа ======
<wrap hide>проверено</wrap>
===== Смежные классы =====
Пусть <latex>(G,\cdot)</latex> --- [[:glossary:group|группа]] и <latex>(H,\cdot)</latex> --- ее [[:glossary:group|подгруппа]] и <latex>a\in G</latex> --- произвольный элемент.

__Определение 1.__ Подмножество в <latex>G</latex> вида <latex>aH=\{a\cdot h\vert h\in H\}</latex> называется **левым смежным классом**((left coset)) группы <latex>G</latex> по подгруппе <latex>H</latex>.

__Определение 2.__ Подмножество в <latex>G</latex> вида <latex>Ha=\{h\cdot a\vert h\in H\}</latex> называется **правым смежным классом**((right coset)) группы <latex>G</latex> по подгруппе <latex>H</latex>.

__Определение 3.__ Любой элемент из левого (правого) смежного класса группы <latex>G</latex> по подгруппе <latex>H</latex> называется **представителем смежного класса**((coset representative)) <latex>aH</latex> (<latex>Ha</latex>).

__Предложение 1.__ Любые два смежных класса группы <latex>G</latex> по подгруппе <latex>H</latex> либо совпадают, либо не имеют общих элементов. Левые (правые) смежные классы образуют [[:glossary:relation:equivalence#разбиение_множества|разбиение]] группы <latex>G</latex>.
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
Пусть некоторый элемент <latex>g</latex> принадлежит двум смежным классам <latex>a_1H</latex> и <latex>a_2H</latex>. Это означает, что <latex>g=a_1h_1=a_2h_2</latex> для некоторых <latex>h_1,h_2\in H</latex>. Тогда <latex>a_1=a_2h_2h_1^{-1}</latex>, и произвольный элемент <latex>a_1h\in a_1H</latex> можно представить в виде <latex>a_1h=a_2h_2h_1^{-1}h=a_2h'</latex>, где <latex>h'=h_2h_1^{-1}h</latex>, то есть  <latex>a_1h\in a_2H</latex>. Таким образом, справедливо [[:glossary:set|включение]] <latex>a_1H\subseteq a_2H</latex>. Аналогично можно показать, что <latex>a_2H\subseteq a_1H</latex>. Значит, имеет место [[:glossary:set|равенство]] <latex>a_1H=a_2H</latex>.

Так как любой элемент <latex>a</latex> содержится в смежном классе <latex>aH</latex>, то <latex>G=\underset{a}{\bigcup}aH</latex>.

Таким образом, <latex>G</latex> состоит из объединения непересекающихся смежных классов.
</hidden>
[[:glossary:relation:equivalence|Отношения эквивалентности]], соответствующие данным разбиениям((см. [[:glossary:relation:equivalence|предложение 2.]])) записываются так:
  * для левых смежных классов: <latex>g_1\sim g_2</latex> тогда и только тогда, когда <latex>g_1^{-1}\cdot g_2\in H</latex>;
  * для правых смежных классов: <latex>g_1\sim g_2</latex> тогда и только тогда, когда <latex>g_1\cdot g_2^{-1}\in H</latex>.
Соответственно, левые (правые) смежные классы являются [[:glossary:relation:equivalence|классами эквивалентности]] по данному отношению.
===== Индекс подгруппы =====
__Предложение 2.__ Число левых смежных классов группы <latex>G</latex> по подгруппе <latex>H</latex> равно числу правых смежных классов <latex>G</latex> по этой же подгруппе.

__Определение 4.__ **Индексом**((index)) подгруппы <latex>H</latex> в <latex>G</latex> называется число левых смежных классов группы <latex>G</latex> по <latex>H</latex>. Индекс обозначается символом <latex>(G:H)</latex>.

__Определение 5.__ Индекс [[:glossary:group|тривиальной подгруппы]] называется **порядком**((order)) группы <latex>G</latex>. При этом используют обозначения <latex>(G:e)</latex> или <latex>\textrm{ord}\,G</latex>.

__Замечание 1.__ Индекс конечной группы --- это количество ее элементов.

__Предложение 3. (**Теорема Лагранжа**.)__ Пусть <latex>H</latex> --- подгруппа группы <latex>G</latex> тогда <latex>(G:H)(H:e)=(G:e)</latex>. Если два из этих индексов конечны, то конечен и третий и имеет место написанное равенство. Если порядок <latex>(G:e)</latex> конечен, то он делится на <latex>(H:e)</latex>.
===== Определение факторгруппы =====
__Предложение 4.__ Пусть подгруппа <latex>H</latex> [[:glossary:group|нормальна]] в <latex>G</latex>. Тогда множество левых смежных классов группы <latex>G</latex> по подгруппе <latex>H</latex> является группой с операцией <latex>g_1H\cdot g_2H=(g_1\cdot g_2)H</latex>.

__Определение 6.__ Группа смежных классов группы <latex>G</latex> по нормальной подгруппе <latex>H</latex> называется **факторгруппой**((factor group)) и обозначается <latex>G/H</latex>.

[[:glossary:relation:equivalence#каноническая_проекция|Каноническая проекция]] [[:glossary:set|множества]] <latex>G</latex> на [[:glossary:relation:equivalence#разбиение_множества|фактормножество]] <latex>G/H</latex> в этом случае является [[:glossary:morphism:group|гомоморфизмом групп]].

__Пример 1.__ Рассмотрим [[glossary:operation:binary:algebraic|аддитивную]] группу [[glossary:set:integer|целых чисел]] <latex>\mathbb{Z}</latex> и ее нормальную((см. [[:glossary:group|предложение 3]])) подгруппу <latex>n\mathbb{Z}=\{nm\vert m\in\mathbb{Z}\}</latex>. Тогда факторгруппа <latex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</latex> обозначается <latex>\mathbb{Z}_n</latex> и называется **группой классов вычетов**((group of prime residue classes)) по модулю <latex>n</latex>.

__Пример 2.__ Факторгруппа [[:glossary:group:symmetric|симметрической группы]] <latex>S_n</latex> по [[:glossary:group:symmetric|знакопеременной группе]] <latex>A_n</latex> является группой <latex>\mathbb{Z}_2</latex>.

===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/17563348/?partner=lds1938|Курош А.Г. «Курс высшей алгебры», Лань, 2008.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "индекс группы" "группа классов вычетов" "порядок группы" "смежный класс" "теорема лагранжа" "факторгруппа"}}