====== Группа ======
===== Определение группы =====
__Определение 1.__ Пара (G,\cdot), сосотящая из [[:glossary:set|множества]] G и [[:glossary:operation:binary:algebraic|бинарной алгебраической операции]] \cdot, называется **группой**((group)), если:
- основная операция [[:glossary:operation:binary:algebraic|ассоциативна]], (x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z) для любых x,y,z\in G;
- существует [[:glossary:element:groupoid:identity|единичный элемент]] e\in G такой, что e\cdot x=x\cdot e=x для любого x\in G;
- для каждого элемента x\in G существует [[:glossary:element:semigroup:inverse|обратный]] x^{-1}\in G такой, что x^{-1}\cdot x=x\cdot x^{-1}=e.
Или, более кратко,
__Определение 1'.__ **Группа** --- это [[:glossary:monoid|моноид]], в котором каждый элемент обладает обратным.
__Пример 1.__ Множество \textrm{Aut}(A) [[:glossary:category|автоморфизмов]] [[:glossary:category|объекта]] A некоторой [[:glossary:category|категории]] \mathcal{A} с умножением --- [[:glossary:category|композицией морфизмов]] является группой.
__Пример 2.__ В моноиде \textrm{Hom}(X,X), состоящем из всех [[:glossary:mapping|отображений]] множества X в себя((см. [[:glossary:monoid|пример 5]])), рассмотрим подмножество S(X) всех [[:glossary:mapping#виды_отображений|взаимно однозначных отображений]]. Тогда S(X) является группой, которая называется **группой перестановок множества**((group of permutations of set)) X.
__Пример 3.__ [[:glossary:group:symmetric#симметрическая_группа|Симметрическая группа]] S_n порядка n при n>2 является примером некоммутативной группы((см. [[:glossary:group:symmetric#симметрическая_группа|предложение 1]])).
===== Абелева группа =====
__Определение 2.__ Группа, в которой основная операция [[:glossary:operation:binary:algebraic|коммутативна]], то есть
* x\cdot y=y\cdot x для любых x,y\in G,
называется **коммутативной**((commutative group)) или **абелевой группой**((Abelian group)).
Обычно операцию в абелевой группе записывают [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|аддитивно]].
__ Пример 4.__ [[:glossary:set:integer|Множество целых чисел]] \mathbb{Z} с операцией сложения + является абелевой группой.
__Пример 5.__ Множество отличных от нуля действительных чисел \mathbb{R}\backslash\{0\} с операцией умножения \cdot является абелевой группой.
__Пример 6.__ [[:glossary:group:cyclic|Циклическая группа]] конечного или бесконечного порядка является абелевой группой.
===== Подгруппа =====
__Определение 3.__ Подмножество H группы G называется **подгруппой**((subgroup)), если оно:
- содержит единицу группы G: e\in H;
- [[:glossary:semigroup|замкнуто относительно операции]] в G: x\cdot y\in H для любых x,y\in H;
- замкнуто относительно взятия обратного элемента: x^{-1}\in H для любого x\in H.
__Пример 7.__ Подмножество n\mathbb{Z}=\{nm\vert m\in\mathbb{Z}\} является подгруппой в \mathbb{Z} для любого n\in\mathbb{N}.
__Пример 8.__ [[:glossary:group:symmetric#знакопеременная_группа|Знакопеременная группа]] A_n является подгруппой симметрической группы S_n порядка n.
__Предложение 1.__ Чтобы подмножество H\subseteq G являлось подгруппой группы G необходимо и достаточно, чтобы \forall x\in H \forall y\in H: x\cdot y^{-1}\in H.
Пусть H\subseteq G --- подгруппа, тогда если y\in H, то y^{-1}\in H и x\cdot y^{-1}\in H.
Обратно, пусть x\cdot y^{-1}\in H для всех x,y\in H. Тогда
- e=x\cdot x^{-1}\in H для некоторого x\in H;
- x^{-1}=e\cdot x^{-1}\in H для любого x\in H;
- x\cdot y=x\cdot(y^{-1})^{-1}\in H для любых x,y\in H.
__Предложение 2.__ Пусть H и K --- подгруппы группы G. Тогда [[:glossary:set:algebra|пересечение]] H\cap K является подгруппой G.
Пусть x,y\in H\cap K, то есть x,y\in H и x,y\in K. Согласно предложению 1, x\cdot y^{-1}\in H и x\cdot y^{-1}\in K, то есть x\cdot y^{-1}\in H\cap K, а значит, H\cap K --- подгруппа в G.
__Определение 4.__ Подгруппа H\subseteq G называется **нормальной**((normal subgroup)) и записывается H\triangleleft G, если она инвариантна относительно действия [[:glossary:group:action|внутренних автоморфизмов]], то есть x\cdot h\cdot x^{-1}\in H для всех h\in H и всех x\in G.
__Предложение 3.__ В абелевой группе любая подгруппа нормальна.
Пусть G --- абелева группа с операцией + и H --- ее подгруппа. Для любых x\in G и h\in H в силу свойства коммутативности получаем, что x+h+(-x)=x+(-x)+h=0+h=h\in H.
__Пример 9.__ Знакопеременная группа A_n нормальна в S_n. Это следует из того, что четности подстановок \pi и \tau\pi\tau^{-1} равны((см. [[:glossary:group:permutation#четность_подстановки|предложение 4]])) для произвольных \pi,\tau\in S_n.
__Определение 5.__ Подгруппа H\subseteq G называется **собственной**((proper subgroup)), если:
- H\neq\{e\};
- H\neq G.
__Определение 6.__ Если подгруппа H=\{e\}, то H называется **тривиальной подгруппой**((trivial)).
===== См. также =====
* [[:glossary:morphism:group|Гомоморфизм групп]]
* [[:glossary:group:factor|Факторгруппа]]
* [[:glossary:group:cyclic|Циклическая группа]]
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/17563348/?partner=lds1938|Курош А.Г. «Курс высшей алгебры», Лань, 2008.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]
{{tag>"абстрактная алгебра" "абелева группа" "группа" "коммутативная группа" "нормальная подгруппа" "обратный элемент" "подгруппа" "собственная подгруппа" "тривиальная подгруппа"}}