====== Линейные комбинации векторов в пространстве ======
===== Линейные комбинации векторов =====
__Определение 1.__ **Линейной комбинацией**((linear combination)) <latex>n</latex> [[:glossary:geometry:elementary:vector|векторов]] <latex>\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n</latex> называется [[:glossary:geometry:elementary:vector#сложение_векторов|сумма]] [[:glossary:geometry:elementary:vector#умножение_вектора_на_число|произведений]] этих векторов на произвольные [[:glossary:set:real|вещественные числа]], то есть выражения вида
<WRAP centeralign><latex>\alpha_1\mathbf{a}_1+\ldots+\alpha_n\mathbf{a}_n</latex>,</WRAP>
где <latex>\alpha_1,\ldots\alpha_n</latex> --- любые вещественные числа.

__Определение 2.__ Векторы <latex>\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n</latex> называются **линейно зависимыми**((linear dependent)), если найдутся такие вещественные числа <latex>\alpha_1,\ldots,\alpha_n</latex>, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов <latex>\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n</latex> с этими числами обращается в нуль(([[:glossary:geometry:elementary:vector|нулевой вектор]])), то есть имеет место равенство:
<WRAP centeralign><latex>\alpha_1\mathbf{a}_1+\ldots+\alpha_n\mathbf{a}_n=\mathbf{0}</latex>.</WRAP>

__Определение 3.__ Векторы <latex>\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n</latex> называются **линейно независимыми**((linear independent)), если равенство нулю их линейной комбинации <latex>\alpha_1\mathbf{a}_1+\ldots+\alpha_n\mathbf{a}_n</latex> возможно лишь в случае, когда все числа <latex>\alpha_1,\ldots,\alpha_n</latex> равны нулю.

__Предложение 1.__ Если хотя бы один из векторов <latex>\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n</latex> нулевой, то эти векторы являются линейно зависимыми.

__Предложение 2.__ Если среди <latex>n</latex> векторов какие-либо <latex>k</latex>((<latex>0<k\leqslant n</latex>)) векторов являются линейно зависимыми, то и все <latex>n</latex> векторов являются линейно зависимыми.

__Предложение 3.__ Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из них представим в виде линейной комбинации остальных.

Обобщение понятия <<линейная зависимость>> можно посмотреть в [[:glossary:dependent:linear|соответствующей статье]].
===== Линейная зависимость двух векторов =====
__Предложение 4.__ Два вектора являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они [[:glossary:geometry:elementary:vector|коллинеарны]].
===== Линейная зависимость трех векторов =====
__Предложение 5.__ Три вектора являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они [[:glossary:geometry:elementary:vector|компланарны]].
===== Линейная зависимость четырех векторов =====
__Предложение 6.__ Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.
===== Базис в пространстве, на плоскости и на прямой =====
__Определение 4.__ **Базисом в пространстве**((basis of a space)) называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

__Определение 5.__ **Базисом на плоскости**((basis of a plane)) называется пара неколлинеарных векторов, взятых в определенном порядке.

__Определение 6.__ **Базисом на прямой**((basis of a line)) называется любой ненулевой вектор на этой прямой.

__Определение 7.__ Пусть <latex>\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3</latex> --- базис в пространстве. Если
<WRAP centeralign><latex>\mathbf{a}=\alpha_1\mathbf{e}_1+\alpha_2\mathbf{e}_2+\alpha_3\mathbf{e}_3</latex>,</WRAP>
то говорят, что вектор <latex>\mathbf{a}</latex> разложен по базису. Числа <latex>\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3</latex> называются **координатами**((coordinates)) вектора <latex>\mathbf{a}</latex> в этом базисе. Аналогично определяются координаты на плоскости и на прямой.

__Предложение 7.__ 
  - Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису на этой прямой.
  - Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой плоскости.
  - Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве.
Координаты вектора в каждом случае определяются однозначно.

__Предложение 8.__ При сложении векторов складываются их соответствующие координаты. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
===== См. также =====
  * [[:glossary:dependent:linear|Линейная зависимость]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/107682/?partner=lds1938|Беклемишев Д.В. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», Физматлит, 2008.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/946527/?partner=lds1938|Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Линейная алгебра», Наука, 1999.]]

{{tag>"аналитическая геометрия" "базис в пространстве" "базис на плоскости" "базис на прямой" "вектор" "коллинеарные векторы" "компланарные векторы" "линейная зависимость" "линейная независимость"}}