====== Алгебраическое расширение поля ======
<wrap hide>проверено</wrap>
===== Алгебраические элементы =====
__Определение 1.__ Пусть <latex>F</latex> --- [[:glossary:field|подполе]] [[:glossary:field|поля]] <latex>E</latex>. Элемент <latex>\alpha\in E</latex> называется **алгебраическим**((algebraic element)) над <latex>F</latex>, если <latex>\alpha</latex> --- [[:glossary:polynomial:root|корень]] некоторого ненулевого [[:glossary:ring:polynomial|многочлена]] <latex>f(T)</latex> с коэффициентами из <latex>F</latex>, то есть выполнено условие
<WRAP centeralign><latex>a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\ldots+a_1\alpha+a_0=0</latex></WRAP>
для некоторых <latex>a_0,a_1,\ldots,a_n</latex>, не равных нулю одновременно.

__Пример 1.__ Элемент <latex>\sqrt{2}</latex> из [[:glossary:set:complex|поля комплексных чисел]] <latex>\mathbb{C}</latex> --- это алгебраический элемент над [[:glossary:set:real|полем действительных чисел]] <latex>\mathbb{R}</latex>, так как он является корнем многочлена <latex>T^2-2</latex> с коэффициентами из <latex>\mathbb{R}</latex>. Этот же элемент, очевидно, является алгебраическим и над [[:glossary:set:integer:rational|полем рациональных чисел]] <latex>\mathbb{Q}</latex>.

__Определение 2.__ Пусть <latex>F</latex> --- [[:glossary:field|подполе]] [[:glossary:field|поля]] <latex>E</latex>. Элементы поля <latex>E</latex>, не являющиеся алгебраическими над <latex>F</latex>, называются **трансцендентными**((transcendental element)).

В случае, когда <latex>F=\mathbb{Q}</latex> и <latex>E=\mathbb{C}</latex>, говорят просто об **алгебраических**((algebraic number)) и **трансцендентных числах**((transcendental number)).

__Пример 2.__ Число <latex>\sqrt[3]{3}</latex> --- алгебраическое, так как <latex>(\sqrt[3]{3})^3-3=0</latex>, а значит, <latex>\sqrt[3]{3}</latex> является корнем многочлена с рациональными коэффициентами <latex>T^3-3</latex>.

__Пример 3.__ Числа <latex>e</latex> и <latex>\pi</latex> --- трансцендентные.((Это неочевидные утверждения, нуждающиеся в доказательствах.))
===== Неприводимый многочлен алгебраического элемента =====
__Определение 3.__ Пусть <latex>E</latex> --- расширение поля <latex>F</latex>, и элемент <latex>\alpha\in E</latex> алгебраический над <latex>F</latex>. Ненулевой многочлен <latex>p(T)</latex> с коэффициентами из <latex>F</latex> минимально возможной [[:glossary:ring:polynomial|степени]], удовлетворяющий условию <latex>p(\alpha)=0</latex> и имеющий коэффициент при старшем члене, равный 1, называется **неприводимым многочленом**((irreducible polynomial of element)) элемента <latex>\alpha</latex> над <latex>F</latex>.

__Предложение 1.__ Неприводимый многочлен алгебраического элемента <latex>\alpha\in E</latex> над <latex>F</latex> определен однозначно.
===== Алгебраическое расширение =====
__Определение 4.__ [[:glossary:field|Расширение]] <latex>E</latex> поля <latex>F</latex> называется **алгебраическим**((algebraic field extension)), если каждый его элемент алгебраичен над <latex>F</latex>. Расширение, не являющееся алгебраическим, называется **трансцендентным**((transcedental)).

__Пример 4.__ Поле <latex>\mathbb{C}</latex> является алгебраическим расширением поля <latex>\mathbb{R}</latex>, так как любое [[:glossary:set:complex|комплексное число]] <latex>a+bi</latex> является корнем многочлена <latex>T^2-2aT+a^2+b^2</latex> с действительными коэффициентами.

__Пример 5.__ Поле <latex>\mathbb{C}</latex> --- это трансцендентное расширение поля <latex>\mathbb{Q}</latex>, так как в <latex>\mathbb{C}</latex> содержатся трансцендентные числа, которые не являются корнями многочленов с рациональными коэффициентами.

__Предложение 2.__ Всякое [[:glossary:field#конечное_расширение|конечное расширение]] <latex>E</latex> поля <latex>F</latex> алгебраично над <latex>F</latex>.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "алгебраический элемент" "алгебраическое расширение" "алгебраическое число" "неприводимый многочлен" "подполе" "поле" "расширение поля" "трансцендентное расширение" "трансцендентное число" "трансцендентный элемент"}}