====== Поле ======
===== Определение поля =====
__Определение 1.__ Тройка (R,+,\cdot), состоящая из [[:glossary:set|множества]] R и операций [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|сложения]] + и [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|умножения]] \cdot называется **полем**((field)), если выполнены следующие условия:
- [[:glossary:operation:binary:algebraic|ассоциативность]] сложения: (a+b)+c=a+(b+c) для всех a,b,c\in R;
- существует [[:glossary:element:groupoid:identity|нулевой элемент]] 0\in R такой, что a+0=0+a=a для всех a\in R;
- для всех a\in R существует [[:glossary:element:semigroup:inverse|противоположный элемент]] -a\in R такой, что -a+a=a+(-a)=0;
- [[:glossary:operation:binary:algebraic|коммутативность]] сложения: a+b=b+a для всех a,b\in R;
- ассоциативность умножения: (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c) для всех a,b,c\in R;
- существует [[:glossary:element:groupoid:identity|единичный элемент]] 1\in R такой, что a\cdot 1=1\cdot a=a для всех a\in R. При этом обычно требуют, чтобы 0\neq 1;
- для всех ненулевых a\in R существует [[:glossary:element:semigroup:inverse|обратный элемент]] a^{-1}\in R такой, что a^{-1}\cdot a=a\cdot a^{-1}=1;
- коммутативность умножения: a\cdot b=b\cdot a для всех a,b\in R;
- дистрибутивность: a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c для всех a,b,c\in R(( свойство (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c не пишем, подразумевая коммутативность умножения)).
Иными словами, поле --- это [[:glossary:operation:binary:algebraic|коммутативное]] [[:glossary:ring:division|тело]].
__Пример 1.__ [[:glossary:set:complex|Множество комплексных чисел]] \mathbb{C} с [[:glossary:set:complex|определенными]] операциями сложения + и умножения \cdot является полем.
__Пример 2.__ [[:glossary:set:integer:rational|Множество рациональных чисел]] \mathbb{Q} со стандартными операциями сложения и умножения является полем.
__Пример 3.__ Для [[:glossary:arithmetic:theorem:fundamental|простого числа]] p кольцо \mathbb{Z}_p [[:glossary:ring#подкольцо_и_факторкольцо|классов вычетов]] по модулю p является полем.
===== Подполе и расширение поля =====
__Определение 2.__ **Подполем**((subfield)) поля E называется [[:glossary:ring#подкольцо_и_факторкольцо|подкольцо]] F\subset E, являющееся полем. Говорят также, что E --- **расширение поля**((field extension)) F.
__Пример 4.__ [[:glossary:set:real|Множество действительных чисел]] \mathbb{R} является подполем поля комплексных чисел \mathbb{C}. Соответственно, \mathbb{C} --- расширение поля \mathbb{R}.
__Пример 5.__ Поле рациональных чисел \mathbb{Q} является подполем поля действительных чисел \mathbb{R}.
__Предложение 1.__ Пусть E --- расширение поля F. Тогда E является [[:glossary:space:linear|векторным пространством]] над F.
Поскольку для b\in F\subset E и \alpha\in E выражение b\alpha --- это умножение в E, то из аксиом поля следует, что выполнены все аксиомы векторного пространства:
- E --- абелева группа по сложению,
- b(\alpha_1+\alpha_2)=b\alpha_1+b\alpha_2 для всех b\in F,\alpha_1,\alpha_2\in E,
- (b_1+b_2)\alpha=b_1\alpha+b_2\alpha для всех b_1,b_2\in F,\alpha\in E,
- b_1(b_2\alpha)=(b_1b_2)\alpha для всех b_1,b_2\in F,\alpha\in E,
- 1\cdot\alpha=\alpha для всех \alpha\in E.
===== Конечное расширение =====
__Определение 4.__ Расширение E --- поля F называется **конечным**((finite extension)), если E --- [[:glossary:space:linear:basis|конечномерное]] векторное пространство над F, то есть в поле E найдутся такие элементы \alpha_1,\ldots,\alpha_n, что любой элемент \alpha из E можно единственным образом представить в виде
\alpha=b_1\alpha_1+b_2\alpha_2+\ldots+b_n\alpha_n,
где b_1,b_2,\ldots,b_n --- элементы из F.
__Определение 5.__ Пусть E --- расширение поля F. Размерность векторного пространства E над F называется **степенью расширения**((degree of extension)) E над F и обозначается символом [E:F]. Степень расширения может быть бесконечной.
__Пример 6.__ Поле \mathbb{C} --- конечное расширение степени 2 над \mathbb{R} с [[:glossary:space:linear:basis|базисом]] \{1,i\}, так как любое комплексное число единственным образом представляется в виде a+bi, где a,b --- действительные числа.
__Предложение 2.__ Пусть k --- поле и F и E --- расширения поля k, причем F\subset E. Тогда
- [E:k]=[E:F][F:k],
- если \{\alpha_i\}_{i\in I} --- базис F над k и \{\beta_j\}_{j\in J} --- базис E над F, то \{\alpha_i\beta_j\}_{(i,j)\in I\times J} --- базис E над k.
__Следствие 1.__ Пусть k --- поле и F и E --- расширения поля k, причем F\subset E. Расширение E поля k конечно тогда и только тогда, когда конечны расширения E над F и F над k.
===== Сопутствующие статьи =====
* [[:glossary:field:extension:algebraic|Алгебраическое расширение поля]]
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/1255737/?partner=lds1938|Винберг Э.Б. «Курс алгебры», Факториал, 2002.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/3250160/|Постников М.М. «Теория Галуа», Факториал, 2003.]]
{{tag>"абстрактная алгебра" "конечное расширение" "подполе" "поле" "расширение поля" "степень расширения" "тело"}}