====== Коалгебра ======
<wrap hide>проверено</wrap>
===== Определение =====
Пусть <latex>R</latex> --- [[:glossary:ring|коммутативное ассоциативное кольцо с единицей]], и <latex>C</latex> --- [[:glossary:module#левый_модуль|левый унитарный]] <latex>R</latex>-[[:glossary:module#левый_модуль|модуль]]. Тогда [[:glossary:module:product:tensor#тензорное_произведение_модулей_над_коммутативным_кольцом|тензорное произведение]] <latex>C\otimes_RC</latex> --- также левый унитарный <latex>R</latex>-модуль.

__Определение 1.__ **Коалгеброй**((coalgebra)) называется тройка <latex>(C,\Delta,\epsilon)</latex>, где <latex>C</latex> --- унитарный левый <latex>R</latex>-модуль, <latex>\Delta\colon C\rightarrow C\otimes C</latex> и <latex>\epsilon\colon C\rightarrow R</latex> --- [[:glossary:morphism:module|гомоморфизмы левых]] <latex>R</latex>-[[:glossary:morphism:module|модулей]], удовлетворяющие следующим аксиомам:
  * **коассоциативность**((coassociativity)): <latex>(\Delta\otimes\textrm{id}_C)\circ\Delta=(\textrm{id}_C\otimes\Delta)\circ\Delta</latex>;
  * **свойство коединицы**((counitary property)): <latex>(\epsilon\otimes\textrm{id}_C)\circ\Delta=(\textrm{id}_C\otimes\epsilon)\circ\Delta=\textrm{id}_C</latex>.
Отображение <latex>\Delta</latex> называют **коумножением**((comultiplication)), а <latex>\epsilon</latex> --- **коединицей**((counit)).

Пусть <latex>\tau\colon C\rightarrow C</latex> --- переставляющее отображение, то есть <latex>\tau(a\otimes b)=b\otimes a</latex> для любых <latex>a,b\in C</latex>.

__Определение 2.__ Коалгебра <latex>C</latex> называется кокоммутативной, если она удовлетворяет дополнительному условию
  * **кокоммутативности**((cocommutativity)) <latex>\tau\circ\Delta=\Delta</latex>.

__Пример 1.__ Коммутативное ассоциативное кольцо с единицей <latex> R </latex> является коалгеброй, если положить <latex>\Delta(1)=1\otimes 1</latex> и <latex>\epsilon(1)=1</latex>.

__Пример 2.__ Пусть <latex> S </latex> --- произвольное [[:glossary:set|множество]]. Рассмотрим [[:glossary:module:free|свободный]] <latex> R </latex>-[[:glossary:module:free|модуль]] <latex>R[S]</latex> с [[:glossary:module:free|базисом]] <latex> S </latex>((то есть множество формальных [[:glossary:dependent:linear#линейные_комбинации_линейная_оболочка|линейных комбинаций]] <latex>r_1s_1+\ldots+r_ms_m</latex>)). Определим отображения <latex>\Delta</latex> и <latex>\epsilon</latex> так, чтобы <latex>\Delta(s)=s\otimes s</latex> и <latex>\epsilon(s)=1</latex> для всех <latex>s\in S</latex>. Тогда <latex>R[S]</latex> с указанными отображениями является коалгеброй.
===== Диаграммы =====
==== Коассоциативность ====
<WRAP column col2 :width 100%>
Аксиому ассоциативности для <latex>R</latex>-алгебры <latex>A</latex> с умножением <latex>\mu\colon A\otimes A\rightarrow A</latex> можно записать следующей коммутативной диаграммой <WRAP centeralign><latex>\begin{diagram}
\node{A}\node[2]{A\otimes A}\arrow[2]{w,t}{\mu}\\ \\
\node{A\otimes A}\arrow[2]{n,l}{\mu}\node[2]{A\otimes A\otimes A}\arrow[2]{w,b}{\textrm{id}_A\otimes\mu}\arrow[2]{n,r}{\mu\otimes\textrm{id}_A}
\end{diagram}</latex>.</WRAP> Это соответствует равенству <latex>\mu(\mu(a,b),c)=\mu(a,\mu(b,c))</latex> для любых <latex>a,b,c\in A</latex>, если проходить по диаграмме из правого нижнего угла в левый верхний по стрелкам сначала вверх, затем влево, и сначала влево, затем вверх.

По аналогии аксиому коассоциативности записывают с помощью коммутативной диаграммы <WRAP centeralign><latex>\begin{diagram}
\node{C}\arrow[2]{e,t}{\Delta}\arrow[2]{s,l}{\Delta}\node[2]{C\otimes C}\arrow[2]{s,r}{\Delta\otimes\textrm{id}_C}\\ \\
\node{C\otimes C}\arrow[2]{e,b}{\textrm{id}_C\otimes\Delta}\node[2]{C\otimes C\otimes C}
\end{diagram}</latex>,</WRAP> полученной разворотом стрелок в диаграмме для ассоциативности. Умножение <latex>\mu</latex> при этом меняется на коумножение <latex>\Delta</latex>. Данная диаграмма соответствует формуле <latex>(\Delta\otimes\textrm{id}_C)\circ\Delta=(\textrm{id}_C\otimes\Delta)\circ\Delta</latex>.
</WRAP>

==== Коединица ====
<WRAP column col2 :width 100%>
Аксиома единицы <latex>ea=ae=e</latex> в алгебре <latex>A</latex> с единицей может быть записана в виде коммутативной диаграммы 
<WRAP centeralign><latex>\begin{diagram}
\node{R\otimes A}\arrow[2]{se,b}{\cong}\arrow[2]{e,t}{e\otimes\textrm{id}_A}\node[2]{A\otimes A}\arrow[2]{s,r}{\mu}\node[2]{A\otimes R}\arrow[2]{w,t}{\textrm{id}_A\otimes e}\arrow[2]{sw,b}{\cong}\\ \\
\node[3]{A}
\end{diagram}</latex>,</WRAP> где <latex>e\colon R\rightarrow A\colon 1\mapsto 1</latex>.

Тогда, развернув в этой диаграмме стрелки и заменив <latex>\mu</latex> на <latex>\Delta</latex>, а <latex>e</latex> на <latex>\epsilon</latex>, можно получить коммутативную диаграмму, соответствующую аксиоме коединицы
<WRAP centeralign><latex>\begin{diagram}
\node{R\otimes C}\node[2]{C\otimes C}\arrow[2]{w,t}{\epsilon\otimes\textrm{id}_C}\arrow[2]{e,t}{\textrm{id}_C\otimes\epsilon}\node[2]{C\otimes R}\\ \\
\node[3]{C}\arrow[2]{n,r}{\Delta}\arrow[2]{nw,b}{\cong}\arrow[2]{ne,b}{\cong}
\end{diagram}</latex>.</WRAP>
</WRAP>
==== Кокоммутативность ====
<WRAP column col2 :width 100%>
Аксиоме коммутативности в алгебре <latex>A</latex> соответствует диаграмма 
<WRAP centeralign><latex>\begin{diagram}
\node[3]{A}\\ \\
\node{A\otimes A}\arrow[2]{ne,l}{\mu}\node[4]{A\otimes A}\arrow[2]{nw,l}{\mu}\arrow[4]{w,b}{\tau}
\end{diagram}</latex>,</WRAP> что означает <latex>\mu(\tau(a,b))=\mu(a,b)</latex>, или <latex>\mu\circ\tau=\mu</latex>.

При развороте стрелок получается диаграмма для кокоммутативности <WRAP centeralign><latex>\begin{diagram}
\node[3]{C}\arrow[2]{se,l}{\Delta}\arrow[2]{sw,l}{\Delta}\\ \\
\node{C\otimes C}\arrow[4]{e,b}{\tau}\node[4]{C\otimes C}
\end{diagram}</latex>,</WRAP> которая дает <latex>\tau\circ\Delta=\Delta</latex>.
</WRAP>
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/1191567/?partner=lds1938|Кассел К., Россо М., Тураев В. «Квантовые группы и инварианты узлов», Институт компьютерных исследований, 2002.]]
  * Кассель К. «Квантовые группы», Фазис, 1999.

{{tag>"абстрактная алгебра" "коалгебра" "коассоциативность" "коединица" "кокоммутативность" "коумножение"}}