====== Ограниченная универсальная обертывающая алгебра ======
===== Определение =====
Пусть <latex>(L,[p])</latex> --- [[:glossary:algebra:lie:restricted|ограниченная алгебра Ли]] над [[:glossary:field|полем]] <latex>F</latex>.

__Определение 1.__ Пара <latex>(u(L),i)</latex>, состоящая из ассоциативной алгебры с единицей и [[:glossary:algebra:lie:restricted#гомоморфизмы|ограниченного гомоморфизма]] <latex>i:L\rightarrow u(L)_L</latex>, где <latex>u(L)_L</latex> --- [[:glossary:algebra:lie#алгебра_ли_ассоциативной_алгебры|алгебра Ли ассоциативной алгебры]] <latex>u(L)</latex>, называется **ограниченной универсальной обертывающей алгеброй**((restricted universal enveloping algebra)), если для произвольной ассоциативной алгебры <latex>A</latex> с единицей и любого ограниченного гомоморфизма <latex>\varphi:L\rightarrow A_L</latex> существует единственный [[:glossary:morphism:algebra|гомоморфизм ассоциативных алгебр]] <latex>\overline{\varphi}:u(L)\rightarrow A</latex> такой, что следующая диаграмма коммутативна\\
<latex>\begin{diagram}\node[2]{L}\arrow[2]{e,t}{i}\arrow[2]{se,b}{\varphi}\node[2]{u(L)_L}\arrow[2]{s,r}{\overline{\varphi}}\\ \\ \node[4]{A_L.}\end{diagram}</latex>

__Замечание.__ Ограниченная универсальная обертывающая алгебра является [[:glossary:category:universal|универсальным объектом]] в категорном смысле, и определена с точностью до [[:glossary:category|изоморфизма]] единственным образом.

__Теорема 1.__
  - Ограниченная универсальная обертывающая алгебра существует.
  - Пусть <latex>\{e_i\}_{i\in I}</latex> --- базис в <latex>L</latex>. Тогда множество <latex>\{e_{i_1}^{s_1}\ldots e_{i_n}^{s_n}\vert i_1<\ldots<i_n, 0\leqslant s_j\leqslant p-1,1\leqslant j\leqslant n\}</latex> является базисом <latex>u(L)</latex>. Отображение <latex> i </latex> --- это вложение <latex>L</latex> в <latex>u(L)_L</latex>. Если <latex>\textrm{dim}_F(L)=n</latex>, то размерность ограниченной универсальной обертывающей равна <latex>p^n</latex>.

===== Литература =====
  * Джекобсон Н. <<Алгебры Ли>>, Мир, 1964.
  * Strade H., Farnsteiner R. <<Modular Lie Algebras and their Representations>>, Marcel Dekker, 1988.

{{tag>"алгебры ли" "ассоциативная алгебра" "ограниченная алгебра ли" "ограниченная универсальная обертывающая алгебра" "ограниченный гомоморфизм"}}