====== Ограниченная алгебра Ли ====== Пусть L --- [[:glossary:algebra:lie|алгебра Ли]] над [[:glossary:field|полем]] F [[:glossary:field:characteristic|характеристики]] p. ===== Ограниченная алгебра Ли ===== __Определение 1.__ Отображение [p]\colon L\rightarrow L, которое каждому элементу x\in L ставит в соответствие элемент x^{[p]} называется **p-отображением**((p-mapping)), если - \textrm{ad}~x^{[p]}=(\textrm{ad}~x)^p для всех x\in L; - (\alpha x)^{[p]}=\alpha^px^{[p]} для всех \alpha\in F и x\in L; - (x+y)^{[p]}=x^{[p]}+y^{[p]}+\sum_{i=1}^{p-1}s_i(x,y) для всех x,y\in L, где элементы s_i(x,y) находятся из соотношения (\textrm{ad}(x\otimes T+y\otimes 1))^{p-1}x\otimes 1=\sum_{i=1}^{p-1}is_i(x,y)\otimes T^{i-1} в [[:glossary:ring:polynomial|кольце многочленов]] L\otimes_FF[T] с коэффициентами в L. __Замечание.__ Элементы s_i(x,y) представляют собой произведения элементов x,y\in L длины p. __Определение 2.__ Пара (L,[p]), состоящая из алгебры Ли L и p-отображения [p], называется **ограниченной алгеброй Ли**((restricted Lie algebra)). __Пример 1.__ Пусть A_L --- [[:glossary:algebra:lie#алгебра_ли_ассоциативной_алгебры|алгебра Ли ассоциативной алгебры]]. Тогда отображение x\mapsto x^p=x\cdot\ldots\cdot x --- p-кратное произведение x --- является p-отображением. __Пример 2.__ Для [[:glossary:algebra|алгебры]] A над полем F [[:glossary:algebra:lie:derivation|алгебра Ли дифференцирований]] \textrm{Der}~A вместе с операцией возведения в степень p: D\mapsto D^p для любого D\in\textrm{Der}~A, является ограниченной алгеброй Ли. __Пример 3.__ Пусть L --- двумерная алгебра Ли с базисом \{h,x\}, причем [h,x]=x. Тогда единственное p-отображение на L определяется формулой (\alpha h+\beta x)^{[p]}=\alpha^ph+\alpha^{p-1}\beta x. ===== p-подалгебры и p-идеалы ===== __Определение 3.__ Пусть (L,[p]) --- ограниченная алгебра Ли. Подалгебра H\subset L называется **p-подалгеброй**((p-subalgebra)), если x^{[p]}\in H для всех x\in H. __Определение 4.__ Пусть (L,[p]) --- ограниченная алгебра Ли. Идеал I\subset L называется **p-идеалом**((p-ideal)), если x^{[p]}\in I для всех x\in I. __Предложение 1.__ Пусть (L,[p]) --- ограниченная алгебра Ли и I --- p-идеал в L. Тогда на факторалгебре L/I корректно определено p-отображение: (x+I)^{[p]}=x^{[p]}+I. __Определение 5.__ Пусть (L,[p]) --- ограниченная алгебра Ли и S\subset L --- произвольное подмножество. Тогда множество S_p=\{H\vert H\supset S, H --- p-подалгебра \} --- пересечение всех p-подалгебр, содержащих S --- называется **p-подалгеброй, порожденной** S в L. __Определение 6.__ Пусть I --- p-идеал ограниченной алгебры Ли (L,[p]). Тогда I называется **p-нильпотентным**((p-nilpotent)), если I^{[p]^n}=\{x^{[p]^n}\vert x\in I\}=0 для некоторого n\in\mathbb{N}. ((x^{[p]^n} обозначает n-ю итерацию отображения [p].)) __Предложение 2.__ Пусть I --- p-идеал ограниченной алгебры Ли (L, [p]). Тогда L --- p-нильпотентна тогда и только тогда, когда факторалгебра((Она также ограниченная - см. Предложение 1.)) L/I и идеал I p-нильпотентны. __Предложение 3.__ Пусть (L,[p]) --- конечномерная ограниченная алгебра Ли. Тогда существует единственный p-идеал \textrm{rad}_p(L), обладающий свойствами: * \textrm{rad}_p(L) --- p-нильпотентный идеал; * \textrm{rad}_p(L) максимальный. То есть если p-идеал I\subset L p-нильпотентен, то I\subset\textrm{rad}_p(L). __Определение 7.__ Идеал \textrm{rad}_p(L) называется **p-радикалом**((p-radical)) алгебры L. __Пример 4.__ Пусть L --- двумерная алгебра Ли с базисом \{h,x\}, где [h,x]=x. Все идеалы L : L,I=\langle x\rangle_F,(0) --- являются p-идеалами. Идеал I p-нильпотентен, и \textrm{rad}_p(L)=I. ===== Гомоморфизмы ===== __Определение 8.__ Пусть (L_1,[p]_1) и (L_2,[p]_2) --- ограниченные алгебры Ли над полем F . Гомоморфизм алгебр Ли \varphi:L_1\rightarrow L_2 называется **ограниченным**((restricted homomorphism)), или **p-гомоморфизмом**((p-homomorphism)), если \varphi(x^{[p]_1})=\varphi(x)^{[p]_2} для всех x\in L_1. __Определение 9.__ Пусть (L,[p]) --- ограниченная алгебра Ли и \rho\colon L\rightarrow\mathfrak{gl}(V) --- ее [[glossary:algebra:lie:representation|представление]]. Тогда \rho называется **ограниченным представлением**((restricted presentation)), если \rho(x^{[p]})=\rho(x)^p для всех x\in L.((Вспомним, что [[:glossary:algebra:lie:classical|полная линейная алгебра]] \mathfrak{gl}(V) --- ограниченная алгебра Ли с p-отображением "возведение в степень p" (см. Пример 1). Таким образом, \rho --- p-отображение в смысле определения 8.)) ===== p-полулинейное отображение ===== __Определение 10.__ Отображение \varphi:L\rightarrow L называется **p-полулинейным**((p-semilinear)), если - \varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y) для всех x,y\in L; - \varphi(\alpha x)=\alpha^p\varphi(x) для \alpha\in F и x\in L. __Предложение 4.__ Пусть (L,[p]) --- ограниченная алгебра Ли, H\subset L --- подалгебра и [p]_1\colon H\rightarrow H --- некоторое отображение. Тогда следующие утверждения эквивалентны - [p]_1 --- p-отображение на H ; - существует p-полулинейное отображение \varphi:H\rightarrow C_L(H) такое, что [p]_1=[p]+\varphi. __Пример 5.__ Пусть L --- [[:glossary:algebra:lie|абелева алгебра Ли]]. Тогда L ограниченная в том и только том случае, когда на L определено p-полулинейное отображение. ===== Ограничиваемые алгебры Ли ===== __Определение 11.__ Алгебра Ли L называется **ограничиваемой**((restrictable)), если \textrm{ad}L является p-подалгеброй в \textrm{Der}L --- [[:glossary:algebra:lie:derivation|алгебре дифференцирований]] алгебры L, то есть (\textrm{ad}x)^p\in\textrm{ad}L для x\in L. __Теорема 1.__ (Джекобсон) Пусть (L,[p]) --- ограниченная алгебра Ли с базисом \{e_i\}_{i\in I}. Пусть, кроме того, существуют элементы y_i\in L такие, что (\textrm{ad}e_i)^p=\textrm{ad}y_i. Тогда на L существует единственное p-отображение [p]:L\rightarrow L, удовлетворяющее условию e_j^{[p]}=y_j. __Замечание.__ Теорема Джекобсона позволяет дать эквивалентное определение ограничиваемой алгебры Ли как алгебры, на которой можно определить p-отображение. __Пример 6.__ Если L --- [[:glossary:algebra:lie:nilpotent|нильпотентная]] алгебра Ли размерность которой не превосходит p+1, то она является ограничиваемой, так как (\textrm{ad}x)^p=0. __Предложение 5.__ Пусть \varphi\colon L_1\rightarrow L_2 --- сюръективный гомоморфизм алгебр Ли. Тогда если L_1 ограничиваемая, то L_2 также ограничиваемая. ===== Литература ===== * Джекобсон Н. <<Алгебры Ли>>, Мир, 1964. * Strade H., Farnsteiner R. <>, Marcel Dekker, 1988. {{tag>"алгебры ли" "алгебра ли" "ограниченная алгебра ли" "ограниченный гомоморфизм" "ограничиваемая алгебра ли" "p-гомоморфизм" "p-идеал" "p-нильпотентный идеал" "p-отображение" "p-подалгебра" "p-полулинейное отображение" "p-радикал"}}