====== Алгебра Ли ======
===== Определение =====
__Определение 1.__ Пусть <latex>R</latex> --- [[:glossary:ring|коммутативное ассоциативное кольцо с единицей]] и <latex>L</latex> является <latex>R</latex>-[[:glossary:algebra|алгеброй]] с умножением <latex>[~,~]</latex>:
<WRAP centeralign><latex>(x,y)\mapsto[x,y]</latex> для всех <latex>x,y\in L</latex>.</WRAP>
Будем говорить, что <latex>L</latex> --- это **алгебра Ли**((Lie algebra)) над  <latex>R</latex>, если выполнены условия:
  - <latex>[x,x]=0</latex> для всех <latex>x\in L</latex>;((то есть [[:glossary:morphism:module|гомоморфизм]] умножения <latex>L\otimes L\rightarrow L</latex> допускает разложение <latex>L\otimes L\rightarrow L\wedge L\rightarrow L</latex>;))
  - [[:glossary:ring:lie|тождество Якоби]]: <latex>[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0</latex> для всех <latex>x,y,z\in L</latex>.

<hidden onVisible="Замечание." onHidden="Замечание."  initialState="invisible">
Из условия 1 следует антикоммутативность: <WRAP centeralign><latex>[x,y]=-[y,x]</latex> для всех <latex>x,y\in L</latex>.</WRAP> В случае, если <latex>R</latex> --- [[:glossary:field|поле]] [[:|характеристики]] <latex>\textrm{char}~R\neq2</latex>, то свойство антикоммутативности эквивалентно условию 1.
</hidden>

__Пример 1.__ Пространство <latex>\mathbb{R}^3</latex> с операцией векторного произведения является алгеброй Ли.

__Пример 2.__ Целый класс примеров алгебр Ли доставляют [[:glossary:algebra:lie:classical|классические алгебры Ли]].


__Определение 2.__ Два элемента <latex>x,y</latex> алгебры Ли <latex>L</latex> называются **коммутирующими**((commuting elements)), если <latex>[x,y]=0</latex>.

__Определение 3.__ Алгебра Ли <latex>L</latex> называется **абелевой**((abelian)), если любые два ее элемента коммутируют:
<WRAP centeralign><latex>[x,y]=0</latex> для всех <latex>x,y\in L</latex>.</WRAP>

__Определение 4.__ Алгебра Ли <latex>L</latex> называется **простой**((simple)), если <latex>[L,L]\neq0</latex> и <latex>L</latex> не имеет [[:glossary:algebra:ideal|собственных идеалов]].
===== Структурные константы =====
__Определение 5.__ Пусть <latex>L</latex> --- [[:glossary:algebra|конечномерная алгебра]] Ли над [[:glossary:field|полем]] <latex>F</latex> с базисом <latex>\{e_1,\ldots,e_n\}</latex>.((На самом деле можно предполагать, что <latex>L</latex> --- конечномерная свободная алгебра над кольцом <latex>R</latex>.)) Тогда произведение любых двух элементов из базиса можно записать в виде <latex>[e_i,e_j]=\sum c^k_{ij}e_k</latex>. Элементы <latex>c^k_{ij}</latex> называются **структурными константами алгебры Ли**((structure constants of Lie algebra)).

__Предложение 1.__ Набор <latex>\{c^k_{ij}\}_{1\leqslant i,j,k\leqslant n}</latex> элементов из поля <latex>F</latex> является набором структурных констант некоторой алгебры Ли тогда и только тогда, когда выполнены условия
  * <latex>c^k_{ii}=0</latex>,
  * <latex>\sum_{k=1}^n(c^k_{ij}c^l_{st}+c^k_{jt}c^l_{si}+c^k_{ti}c^l_{sj})=0</latex>.
===== Алгебра Ли ассоциативной алгебры =====
Пусть <latex>A</latex> --- произвольная [[:glossary:operation:binary:algebraic#виды_бинарных_операций|ассоциативная]] алгебра с операцией умножения <latex>\cdot</latex> над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей <latex>R</latex>.

__Определение 6.__ На <latex>A</latex>  можно задать структуру алгебры Ли по следующему правилу: <latex>[x,y]=x\cdot y-y\cdot x</latex>. При этом алгебру <latex>A</latex> с умножением <latex>[,]</latex> обозначают через <latex>A_L</latex> и называют **алгеброй Ли ассоциативной алгебры**((Lie algebra of associative algebra)) <latex> A </latex>.

__Пример 3.__ Пусть <latex>\textrm{Mat}_n(F)</latex> --- ассоциативная алгебра матриц порядка <latex>n</latex> над полем <latex>F</latex>. Операция коммутирования: <latex>[A,B]=AB-BA</latex>, где <latex>A,B\in\textrm{Mat}_n(F)</latex> наделяет <latex>\textrm{Mat}_n(F)</latex> структурой алгебры Ли.

__Пример 4.__ Пусть <latex>V</latex> --- [[:glossary:space:linear|векторное пространство]] над [[:glossary:field|полем]] <latex>F</latex>, и <latex>\textrm{End}(V)</latex> --- ассоциативная алгебра [[:glossary:morphism:space:linear|линейных операторов]] на <latex>V</latex>, где операцией умножения является композиция линейных операторов. Алгебра Ли ассоциативной алгебры <latex>\textrm{End}(V)</latex> называется [[:glossary:algebra:lie:classical#полная_линейная_алгебра|полной линейной алгеброй]].

===== Алгебры Ли дифференцирований =====
__Пример 5.__ Алгебра Ли [[:glossary:algebra:lie:derivation#алгебра_ли_дифференцирований|дифференцирований]] произвольной алгебры.

__Пример 6.__ Алгебра Ли [[:glossary:algebra:lie:derivation#алгебра_ли_дифференцирований|внутренних дифференцирований]] алгебры Ли <latex>L</latex>.
===== См. также =====
  * [[:glossary:algebra:lie:classical|Классические алгебры Ли]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/1237652/?partner=lds1938|Винберг Э.Б. «Курс алгебры», Факториал, 2001.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/100718/?partner=lds1938|Серр Ж.-П. «Алгебры Ли и группы Ли», Мир, 1969.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2128164/?partner=lds1938|Хамфрис Дж. «Введение в теорию алгебр Ли и их представлений», МЦНМО, 2003.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "алгебры ли" "абелева алгебра Ли" "алгебра" "алгебра ли" "алгебра ли ассоциативной алгебры" "алгебра ли дифференцирований" "антикоммутативность" "ассоциативная алгебра" "ассоциативное кольцо" "гомоморфизм модулей" "дифференцирование" "кольцо с единицей" "коммутативное кольцо" "простая алгебра ли" "структурные константы" "тождество якоби"}}