====== Алгебра Хопфа ======
===== Биалгебра =====
Пусть <latex> R </latex> --- [[:glossary:ring|коммутативное ассоциативное кольцо с единицей]].

__Определение 1.__ [[:glossary:algebra|Ассоциативная алгебра с единицей]] <latex> A </latex> над кольцом <latex> R </latex> называется **биалгеброй**((bialgebra)), если
  - она наделена структурой [[:glossary:coalgebra|коалгебры]] с [[:glossary:coalgebra|коумножением]] <latex>\Delta</latex> и [[:glossary:coalgebra|коединицей]] <latex>\epsilon</latex>;
  - <latex>\Delta\colon A\rightarrow A\otimes A</latex> и <latex>\epsilon\colon A\rightarrow R</latex> --- [[:glossary:morphism:algebra|гомоморфизмы алгебр]].
===== Алгебра Хопфа =====
__Определение 2.__ Биалгебра <latex> A </latex> называется **алгеброй Хопфа**((Hopf algebra)), если определено <latex> R </latex>-линейное отображение <latex>S\colon A\rightarrow A</latex>, удовлетворяющее условию <WRAP centeralign><latex>\mu\circ(\textrm{id}_A,S)\circ\Delta=\mu\circ(S,\textrm{id}_A)\circ\Delta=\eta\circ\epsilon</latex>,</WRAP> где <latex>\eta\colon R\rightarrow A</latex> --- гомоморфизм <latex> R </latex>-алгебр, а <latex>\mu\colon A\otimes A\rightarrow A</latex> --- отображение, определяющее умножение в алгебре <latex> A </latex>. Отображение <latex> S </latex> называется **антиподом**((antipode)).

===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/1191567/?partner=lds1938|Кассел К., Россо М., Тураев В. «Квантовые группы и инварианты узлов», Институт компьютерных исследований, 2002.]]
  * Кассель К. «Квантовые группы», Фазис, 1999.

{{tag>"абстрактная алгебра" "алгебра хопфа" "антипод" "биалгебра" "коалгебра" "коассоциативность" "коединица" "коумножение"}}