====== Точка в топологическом пространстве ======
проверено. значков много. страшно
===== Описание =====
Пусть (X,\tau) --- [[:glossary:topology|топологическое пространство]], A\subseteq X --- непустое [[:glossary:set|подмножество]], x\in X --- некоторая точка.
__Определение 1.__ Говорят, что x является **внутренней точкой**((inner point, interior point)) множества A , если существует [[:glossary:topology:neighborhood|окрестность]] U_x\in\tau точки x , целиком лежащая в A : x\in U_x\subseteq A. **Множество внутренних точек**((interior of set)) множества A обозначают \textrm{Int}~A.
__Определение 2.__ Говорят, что x является **внешней точкой**((outside point, exterior point)) множества A , если существует окрестность U_x\in\tau точки x , не пересекающаяся с множеством A : U_x\cap A=\varnothing или x\in U_x\subseteq X\backslash A. **Множество внешних точек**((exterior)) множества A обозначают \textrm{Ext}~A.
__Определение 3.__ Говорят, что x является **граничной точкой**((frontier point)) множества A , если x не является ни внутренней точкой множества A , ни внутренней точкой множества X\backslash A, то есть если для любой окрестности U_x\in\tau точки x выполнено: (U_x\cap A\neq\varnothing)\wedge(U_x\cap(X\backslash A)\neq\varnothing). Множество граничных точек называют также **границей множества**((frontier of set)) A и обозначают \textrm{Fr}~A.
__Пример 1.__ Рассмотрим множество [[:glossary:set:real|действительных чисел]] \mathbb{R} с [[:glossary:topology|обычной топологией]]. Тогда границей подмножества \mathbb{Q} [[:glossary:set:integer:rational|рациональных чисел]] является \mathbb{R}.
__Определение 4.__ Говорят, что x является **точкой прикосновения**((adherent point, closure point, point of closure)) множества A , если она либо внутренняя, либо граничная, то есть любая окрестность U_x\in\tau точки x имеет непустое пересечение с множеством A : U_x\cap A\neq\varnothing. Множество точек прикосновения называют также **замыканием множества**((closure of set)) A и обозначают \overline{A}.
__Определение 5.__ Говорят, что x является **предельной точкой**((accumulation point, limit point)) множества A , если для любой окрестности U_x\in\tau точки x выполнено: (U_x\backslash\{x\})\cap A\neq\varnothing. **Множество предельных точек**((cluster set)) множества A обозначают A'.
__Определение 6.__ Говорят, что x является **изолированной точкой**((isolated point)) множества A , если существует окрестность U_x\in\tau точки x не содержащая других точек множества A : U_x\cap A=\{x\}. Множество, состоящее только из изолированных точек, называется **дискретным множеством**((discrete set)).
__Пример 2.__ Рассмотрим топологическое пространство (\mathbb{R},\tau_U) и множество A=\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}\cup[0,1). Тогда имеем:
- внутренние точки: \textrm{Int}~A=(0,1),
- граница множества: \textrm{Fr}~A=\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}\cup\{0,1\},
- замыкание множества: \overline{A}=A\cup\{1\},
- предельные точки: A'=[0,1],
- дискретное множество: \{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}.
__Предложение 1.__ Пусть (X,\tau) --- топологическое пространство и A --- подмножество X . Тогда \textrm{Int}~A --- наибольшее открытое множество, лежащее в A , то есть выполнено:
- \textrm{Int}~A\in\tau;
- \textrm{Int}~A\subseteq A;
- (B\in\tau)\wedge(B\subseteq A)\Rightarrow B\subseteq\textrm{Int}~A.
__Следствие 1.__ \textrm{Int}~A=\underset{U\in\tau,U\subseteq A}{\bigcup}U --- объединение всех открытых множеств, содержащихся в A .
__Предложение 2.__ Пусть (X,\tau) --- топологическое пространство и A --- подмножество X . Тогда \overline{A} --- наименьшее замкнутое множество, содержащее A , то есть выполнено:
- \overline{A}\in\mathcal{F};
- A\subseteq\overline{A};
- (B\in\mathcal{F})\wedge(A\subseteq B)\Rightarrow \overline{A}\subseteq B.
__Следствие 2.__ \overline{A}=\underset{F\in\mathcal{F},A\subseteq F}{\bigcap}F --- пересечение всех замкнутых множеств, содержащих A .
__Следствие 3.__ \textrm{Fr}~A=\overline{A}\cap\overline{X\backslash A} --- замкнутое множество.
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/97679/?partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.]]
* Рохлин В.А., Фукс Д.Б. <<Начальный курс топологии. Геометрические главы>>, Наука, 1977.
* Телеман К. <<Элементы топологии и дифференцируемые многообразия>>, Мир, 1967.
{{tag>"топология" "внешняя точка" "внутренняя точка" "граница множества" "граничная точка" "дискретное множество" "замыкание множества" "изолированная точка" "предельная точка" "топологическое пространство" "точка прикосновения"}}