===== Терминология =====
==== Геометрические пространства ====
**1.1. Определение.** //Геометрическое пространство// E=(X,\mathcal{O}_X) состоит из данного топологического пространства X , наделенного пучком колец \mathcal{O}_X таким, что для всех x\in X слой \mathcal{O}_{X,x} (или просто \mathcal{O}_x) из \mathcal{O}_X в x является //локальным// кольцом.
Допуская вольность речи, часто пишут X вместо E . Единственный максимальный идеал в \mathcal{O}_x будет обозначаться через \mathfrak{m}_x, и k(x) будет обозначать поле \mathcal{O}_x/\mathfrak{m}_x. Если s --- сечение из \mathcal{O}_X в окрестности x , то канонический образ s в \mathcal{O}_x будет обозначаться s_x и называться //ростком// s в x ; также //значением// s(x) для s в x называют канонический образ s в k(x). Это значение нулевое тогда и только тогда, когда росток s в точке x принадлежит \mathfrak{m}_x.
**1.2. Пример.** X --- топологическое пространство, \mathcal{O}_X --- пучок ростков непрерывных комплексных функций. Для всех x\in X слой \mathcal{O}_x --- локальное кольцо, и его максимальный идеал --- это множество ростков функций, зануляющихся в x .
**1.3. Пример.** Пусть (X,\mathcal{O}_X) --- геометрическое пространство, и P --- подмножество X , наделенное индуцированной топологией. Если i:P\rightarrow X --- включение, то //ограничением// \mathcal{O}_X на P называют полный прообраз i^*(\mathcal{O}_X) и обозначают \mathcal{O}_{X|P}; если x\in P, то (\mathcal{O}_{X|P})_x=\mathcal{O}_{X,x}. Будем говорить, что (P,\mathcal{O}_{X|P}) --- это //геометрическое пространство, индуцированное с// (X,\mathcal{O}_X) на подмножество P . Если P открыто в X , то говорят, что (P,\mathcal{O}_{X|P}) --- //открытое подпространство// в (X,\mathcal{O}_X).
Рассмотрим, например, сечение s из \mathcal{O}_X на X . Если x\in X и s(x)\neq 0, то найдется сечение t из \mathcal{O}_X в окрестности x такое, что s_xt_x=1. Отсюда следует, что для всех точек y из некоторой окрестности x выполнено: s_yt_y=1, таким образом, множество x\in X таких, что s(x)\neq 0, открыто. Такое открытое множество будет называться //главным открытым// и обозначаться X_s.
**1.4. Определение.** //Морфизм геометрических пространств// f:(X,\mathcal{O}_X)\rightarrow(Y,\mathcal{O}_Y) состоит из данного непрерывного отображения f^e:X\rightarrow Y и гомоморфизма пучков колец f^f из \mathcal{O}_Y в прямой образ f_\ast(\mathcal{O}_X) для \mathcal{O}_X. От них требуется, чтобы для всех x\in X гомоморфизм f_x:\mathcal{O}_{f(x)}\rightarrow\mathcal{O}_x, индуцированный f^f, был //локальным//, то есть, чтобы f_x(\mathfrak{m}_y)\subset\mathfrak{m}_x.
Часто вместо f^e пишут f . Если U открыто в X , и V открыто в Y и содержится в f(U), то пишут f^V_U:\mathcal{O}_Y(V)\rightarrow\mathcal{O}_X(U) для обозначения гомоморфизма колец, индуцированного f^f.
Композиция морфизмов геометрических пространств определяется очевидным образом. Геометрические пространства и их морфизмы определяют категорию, которую будем обозначать \textrm{Esg}. Морфизм геометрических пространств f:X\rightarrow Y будет называться //открытым вложением//, если f индуцирует изоморфизм X на открытое подпространство в Y .
**1.5. Пример.** Если \mathcal{O}_X и \mathcal{O}_Y --- пучки ростков непрерывных комплексных функций на X и Y , то всякое непрерывное отображение f:X\rightarrow Y определяет морфизм геометрических пространств: по вышеприведенному замечанию достаточно положить
f^V_U(s)=s\circ f', где f':U\rightarrow V --- отображение, индуцированное f .
**1.6. Предложение.** Если T --- категория такая, что \textrm{Ob}~ T и \textrm{Fl}~T принадлежат V , то любой функтор d:T\rightarrow\textrm{Esg} обладает индуктивным пределом.
В самом деле, достаточно доказать существование с одной стороны, прямой суммы семейства геометрических пространств (X_i,\mathcal{O}_{X_i})_{i\in I} и с другой
стороны, коядра пары морфизмов\\ f,g:(X,\mathcal{O}_X)\rightrightarrows(Y,\mathcal{O}_Y).\\ Прямая сумма\\ (S,\mathcal{O}_S)=\underset{i\in I}{\coprod}(X_i,\mathcal{O}_{X_i})\\ имеет в
качестве порождающего пространства топологическую сумму X_i и на нем
\mathcal{O}_{S|X_i}=\mathcal{O}_{X_i}. Конструкция коядра (Z,\mathcal{O}_Z) при (f,g) получается
следующим образом:
\quad a) Z --- коядро непрерывных отображений f и g в категории топологических пространств, полученное отождествлением в Y точек f(x) и g(x) для всех x\in X.
\quad b) если p:Y\rightarrow Z --- каноническая проекция, то каждое открытое подмножество W\subset Z определяет два открытых подмножества V=p^{-1}(W) и U=f^{-1}(V)=g^{-1}(V); тогда \mathcal{O}_Z(W) --- это кольцо, состоящее из таких s\in\mathcal{O}_Y(V), что f^V_U(s)=g^V_U(s). Отображения ограничения \mathcal{O}_Z(W)\rightarrow\mathcal{O}_Z(W') индуцированы отображениями ограничения в \mathcal{O}_Y, и каноническая проекция (Y,\mathcal{O}_Y)\rightarrow(Z,\mathcal{O}_Z) определена отображением p и включениями p^W_V:\mathcal{O}_Z(W)\rightarrow\mathcal{O}_Y(V). Оставшийся тонкий момент проверки состоит в том, чтобы показать, что слои \mathcal{O}_Z --- локальные кольца, что делается ниже.
Учитывая вышеприведенные обозначения, пусть w\in\mathcal{O}_Z(W),~v=p^W_V(W) и
u=f^V_U(v)=g^V_U(v); так как гомоморфизмы f_x:\mathcal{O}_{f(x)}\rightarrow\mathcal{O}_x локальные, имеем f^{-1}(V_v)=U_u (1.3), а также g^{-1}(V_v)=U_u,
поэтому f^{-1}(V_v)=g^{-1}(V_v) и V_v=p^{-1}(W') , где W' открыто и содержится в W . Если z\in W', то росток w в точке z имеет в качестве обратного росток
(v_{|V_v})^{-1}; напротив, если z\not\in W', то p^{-1}(z) не пересекается с V_v и v зануляется во всех точках p^{-1}(z). Это показывает две вещи: с
одной стороны, если w,w'\in\mathcal{O}_z(W) имеют ростки, необратимые в точке z , то p^W_V(w) и p^W_V(w') обращаются в нуль во всех точках p^{-1}(z), поэтому p^W_V(w+w') в них также обращаются в нуль и w+w' необратим; откуда \mathcal{O}_z --- локальное кольцо. С другой стороны, если w обращается в нуль в z , то p^W_V(w) зануляется в каждой точке y\in p^{-1}(z), поэтому
p_y:\mathcal{O}_x\rightarrow\mathcal{O}_y --- локальный гомоморфизм.
**1.7. Пример.** Положим, что \mathcal{O}_X и \mathcal{O}_Y --- пучки ростков непрерывных комплекснозначных функций на X и Y и что морфизмы f,g определяются непрерывными отображениями топологических пространств при помощи композиции.Тогда \mathcal{O}_Z отождествляется с пучком ростков непрерывных комплекснозначных функций на Z .
**1.8. Замечание.** Можно показать, что если T --- такая категория, что \textrm{Ob}~T и \textrm{Fl}~T\in V, то каждый функтор d:T\rightarrow\textrm{Esg} обладает проективным пределом. Мы не будем пользоваться этим результатом.
==== Простой спектр кольца ====
**2.1.** Мы обозначаем через \mathcal{O}:\textrm{Esg}^{\circ}\rightarrow\textrm{An} функтор такой, что \mathcal{O}(X)=\mathcal{O}_X(X), если X --- геометрическое пространство, и \mathcal{O}(f)=f^Y_X (1.4), если f:X\rightarrow Y --- морфизм геометрических пространств.
**Теорема существования простых спектров.** Для любого кольца A существует геометрическое пространство \textrm{Spec}A и гомоморфизм \varphi_A:A\rightarrow\mathcal{O}(\textrm{Spec}A), удовлетворяющий нижеприведенному условию (*):\\
(*) Если X --- геометрическое пространство и \varphi:A\rightarrow\mathcal{O}(X) --- гомоморфизм колец, то существует морфизм f:X\rightarrow\textrm{Spec}A, притом единственный, такой, что \varphi=\mathcal{O}(f)\varphi_A:\\
\begin{diagram}
\node{A}\arrow[2]{e,t}{\varphi}\arrow{se,r}{\varphi_A}\node[2]{\mathcal{O}(X)}\\
\node[2]{\mathcal{O}(\textrm{Spec}A).}\arrow{ne,r}{\mathcal{O}(f)}
\end{diagram}\\
Очевидно, такая пара (\textrm{Spec}A,\varphi_A) "единственная" как решение универсальной задачи. Эта задача универсальности означает, что отображение f\mapsto\mathcal{O}(f)\varphi_A является биекцией: \textrm{Esg}(X,\textrm{Spec}A)\xrightarrow{\sim}\textrm{An}(A,\mathcal{O}(X)). В качестве иллюстрации мы ограничимся описанием пары (\textrm{Spec}A,\varphi_A) и предъявлением обратного отображения для биекции f\mapsto\mathcal{O}(f)\varphi_A:
//Описание// (\textrm{Spec}A,\varphi_A): точки \textrm{Spec}A --- это простые идеалы в A (Комм. алг. II, §4, nº3). Если f\in A и p\in\textrm{Spec}A, то значением f в p называют канонический образ f в фактор-кольце A/p; если a --- идеал в A , то через D(a) обозначают множество точек \textrm{Spec}A таких, что по крайней мере один элемент f из a не обращается в нуль в этой точке. Эти подмножества D(a) из \textrm{Spec}A являются открытыми в \textrm{Spec}A.
Пусть S(a) --- множество таких s\in A, которые не принимают нулевое значение ни в какой точке открытого множества D(a) из \textrm{Spec}A. Таким образом, если D(a)=D(b), то S(a)=S(b). Определим предпучок колец \mathcal{F} на \textrm{Spec}A, полагая \mathcal{F}(D(a))=A[S(a)^{-1}] (Комм. алг. II, §2, nº1) и выбирая гомоморфизмы ограничения очевидным образом. Когда a --- главный идеал с образующим s и A_s обозначает кольцо частных A , определенное мультипликативным множеством \{1,s,s^2,s^3,\ldots\}, легко проверить, что каноническое отображение A_s\rightarrow A[S(a)^{-1}] биективно. В частности, \mathcal{F}(\textrm{Spec}A) отождествляется с A (полагая s=1). В качестве структурного пучка \textrm{Spec}A возьмем пучок, ассоциированный с предпучком \mathcal{F}. Слоем этого пучка в точке p является в точности локальное кольцо A_p=A[(A-p)^{-1}]. Наконец, выберем \varphi_A равным каноническому отображению в кольцо сечений ассоциированного пучка.
//Осталось предъявить обратное отображение// \varphi\mapsto g //для отображения// f\mapsto\mathcal{O}(f)\varphi_A; пусть \varphi:A\rightarrow\mathcal{O}(X) --- гомоморфизм и x --- точка из X . По определению, g(x) будет полным прообразом m_x при композиции отображений:\\ A\xrightarrow{\varphi}\mathal{O}_X(X)\xrightarrow{\textrm{can.}}\mathcal{O}_x.\\ Очевидно, отображение g непрерывно: если a --- идеал в кольце A , то g^{-1}(D(a)) --- ни что иное, как множество точек из X , в которых по крайней мере один элемент из \varphi(a) не обращается в нуль. Таким образом, композиция отображений\\ A\xrightarrow{\varphi}\mathal{O}_X(X)\xrightarrow{\textrm{can.}}
\mathcal{O}_X(g^{-1}(D(a)))\\ пропускается через A[S(a)^{-1}], что определяет морфизм \mathcal{F}\rightarrow g_*(\mathcal{O}_X) (предпучка \mathcal{F} в образ \mathcal{O}_X при отображении g ); это и есть искомый морфизм \mathcal{O}_{\textrm{Spec}A}\rightarrow g_*(\mathcal{O}_X).
**2.2. Пример.** Пусть X --- геометрическое пространство. Если положить A=\mathcal{O}(X) и \varphi=\textrm{Id}_A в 2.1, то мы видим, что существует единственный морфизм \psi_X:X\rightarrow\textrm{Spec}\mathcal{O}(X) такой, что \mathcal{O}(\psi_X)\varphi_A=\textrm{Id}_A. Согласно 2.1, \psi^e_X ставит в соответствие точке x\in X простой идеал в \mathcal{O}(X), порожденный такими s , что s(x)=0. Морфизм \psi^f_X:\mathcal{O}_{\textrm{Spec}\mathcal{O}(X)}\rightarrow(\psi^e_X)_*
(\mathcal{O}_X) строится как в 2.1.
**2.3. Определение.** Для произвольного кольца A геометрическое пространство \textrm{Spec}A называется //простым спектром// A .
Разумеется, \textrm{Spec}A <> вместе с A : если \varphi:A\rightarrow B --- гомоморфизм колец, то обозначим через \textrm{Spec}\varphi:\textrm{Spec}B\rightarrow\textrm{Spec}A единственный морфизм такой, что \varphi_B\varphi=\mathcal{O}(\textrm{Spec}\varphi)\varphi_A. Этот морфизм задается следующим образом: отображение (\textrm{Spec}\varphi)^e, соответствующее \textrm{Spec}\varphi, отображает q на \varphi^{-1}(q); если a --- идеал в A , имеем\\
((\textrm{Spec}\varphi)^e)^{-1}(D(a))=D(B\varphi(a))\\ и композиция морфизмов\\ A\xrightarrow{\varphi}B\rightarrow\mathcal{O}_{\textrm{Spec}B}(D(B\varphi(a)))\\ пропускается через A[S(a)^{-1}]. Когда a меняется, то также получаем морфизм\\ (\textrm{Spec}\varphi)^f:\mathcal{O}_{\textrm{Spec}A}\rightarrow(\textrm{Spec}\varphi)
^e_*(\mathcal{O}_{\textrm{Spec}B}).
В частности, если s\in A и \varphi:A\rightarrow A_s --- каноническое отображение, то \textrm{Spec}\varphi является изоморфизмом \textrm{Spec}(A_s) на открытое подпространство (\textrm{Spec}A)_s=D(As) в \textrm{Spec}A.
**2.4.** Для любого идеала a из положим V(a)=(\textrm{Spec}A)-D(a).
Для произвольного множества P из \textrm{Spec}A //замыкание// \overline{P} для P совпадает с V(\cap_{p\in P}p). Если \varphi:A\rightarrow B --- гомоморфизм и b --- идеал в B , то мы имеем, что\\ \overline{(\textrm{Spec}\varphi)^e(V(b))}=V(\varphi^{-1}(b)):\\ действительно,если \sqrt{a} обозначает корень a (Комм. алг. II, §2, nº6), то\\ \overline{(\textrm{Spec}\varphi)^e(V(b))}=V(\underset{p\in V(b)}{\cap}\varphi^{-1}(p))=V(\varphi^{-1}(\underset{p\in V(b)}{\cap}p))=V(\varphi^{-1}(\sqrt{b}))=\\ V(\sqrt{\varphi^{-1}(b)})=V(\varphi^{-1}(b))\\ (Комм. алг. II, §4, nº3, corr. 2 в предл. 11).
В частном случае, когда b=0 видно, что V(\varphi^{-1}(0)) //является замыканием образа// \textrm{Spec}B. Чтобы \textrm{Spec}\varphi был //доминантным// (это означает, что образ (\textrm{Spec}\varphi)^e плотен), необходимо и достаточно, чтобы \varphi^{-1}(0) был ниль-идеалом.
**2.5.** В случае, когда A является кольцом \mathbb{Z}[T] полиномов от одной переменной T , гомоморфизм \varphi:\mathbb{Z}[T]\rightarrow\mathcal{O}(X) определяется элементом \varphi(T), который может быть выбран в \mathcal{O}(X) произвольным образом. Следовательно, \textrm{An}(\mathbb{Z}[T],\mathcal{O}(X)) отождествляется с \mathcal{O}(X). Применяя формулу присоединения\\ \textrm{Esg}(X,\textrm{Spec}\mathbb{Z}[T])\xrightarrow{\sim}\textrm{An}(\mathbb{Z}[T],
\mathcal{O}(X)),\\ установленную выше, видно, что //можно отождествить// \mathcal{O}(X) //с множеством морфизмов из// X //в// \textrm{Spec}\mathbb{Z}[T]. Это оправдывает следующее определение:
**Определение:** Если X --- геометрическое пространство, то морфизм\\ \varphi:X\rightarrow\textrm{Spec}\mathbb{Z}[T]\\ называется //функцией// на X ; кольцо \mathcal{O}(X) называется //кольцом функций// на X .
**2.6. Предложение.** Для произвольного кольца A гомоморфизм \varphi_A:A\rightarrow\mathcal{O}(\textrm{Spec}A) из 2.1 является изоморфизмом.
Положим X=\textrm{Spec}A. В первую очередь мы покажем, что предпучок \mathcal{F} из 2.1 принимает те же значения, что и ассоциированный пучок \mathcal{O}_{\textrm{Spec}A} на главных открытых множествах X_f=D(Af),~f\in A. Так как X_f\cap X_g=X_{fg}, если f,g\in A, то, очевидно, достаточно показать, что когда X_f покрыто X_{f_1},\ldots,X_{f_n}, мы имеем точную последовательность\\ \mathcal{F}(X_f)\xrightarrow{u}\underset{i}{\prod}\mathcal{F}(X_{f_i})
\underset{w}{\overset{v}
{\rightrightarrows}}\underset{i,j}{\prod}\mathcal{F}(X_{f_if_j}),\\ где u,v,w таковы, что u(a)=(a_i),v((b_i))=(b_{ij}) и w((b_i))=(c_{ij}); a_i,b_{ij} и c_{ij} соответственно обозначают ограничения a,b_i и b_j на X_{f_i},X_{f_if_j} и X_{f_if_j}. Так как мы имеем X_{f_i}=X_f\cap X_{f_i}=X_{ff_i} и \mathcal{F}(X_f)=A_f, то речь идет лишь о том, чтобы доказать точность последовательности\\ A_f\xrightarrow{u}\underset{i}{\prod}A_{ff_i}\underset{w}
{\overset{v}{\rightrightarrows}}\underset{i,j}{\prod}A_{ff_if_j}.
Для этого положим C=A_f,B=\prod_iA_{ff_i}. Тогда B вполне плоский над C (Комм. алг. II, §3, предл. 15 и сл.) и \prod_{i,j}A_{ff_if_j} отождествляется с\\ (\underset{i,j}{\prod}A_{ff_i}\otimes_CA_{ff_j})\xrightarrow{\sim}B\otimes_CB,\\ v и w отождествлены с отображениями b\mapsto b\otimes1 и b\mapsto 1\otimes b. Точность следует из леммы 2.7, если положить M=C=A_f.
**2.7. Лемма:** Пусть C --- кольцо, M --- C -модуль и B --- вполне плоская C -алгебра. Последовательность C -модулей\\ 0\rightarrow M\xrightarrow{\partial_0}M\otimes_CB\xrightarrow{\partial_1}M\otimes_CB\otimes_CB
\xrightarrow{\partial_2}M\otimes_CB\otimes_CB\otimes_CB\xrightarrow{\partial_2}\ldots,\\ где \partial_0(m)=m\otimes1 и\\ \partial_n(m\otimes b_1\otimes\ldots\otimes b_j)=\underset{i=0}{\overset{i=n}{\sum}}(-1)^im\otimes b_1\otimes\ldots\otimes b_{n-i}\otimes1\otimes_{b-i+1}\otimes\ldots\otimes b_n,\\ если n>0, точна.
На самом деле, если B вполне плоский над C , то достаточно показать, что последовательность\\ 0\rightarrow M\otimes_CB\xrightarrow{\partial_0\otimes_CB}M\otimes_CB\otimes_CB\xrightarrow{\partial_1
\otimes_CB}M\otimes_CB\otimes_CB\otimes_CB\xrightarrow{\partial_2\otimes_CB}\ldots\\ точна. Но, если положить\\ s_n(m\otimes b_0\otimes\ldots\otimes b_{n+1})=m\otimes b_0\otimes\ldots\otimes b_{n-1}\otimes b_nb_{n+1}\\ (n\geqslant0), то имеем\\ s_0(\partial_0\otimes_CB)=\textrm{Id} и (\partial_n\otimes_CB)s_n+s_{n+1}(\partial_{n+1}\otimes_CB)=\textrm{Id}.
**2.8. Следствие:** Функтор A\rightarrow\textrm{Spec}A вполне точный.
Действительно, в теореме 2.1 положим X=\textrm{Spec}B. Отображение\\ \textrm{An}(A,B)\rightarrow\textrm{Esg}(\textrm{Spec}B,\textrm{Spec}A)\\ является композицией\\ \textrm{An}(A,\varphi_B):\textrm{An}(A,B)\rightarrow\textrm{An}(A,\mathcal{O}
(\textrm{Spec}B))\\ и биекции\\ \textrm{An}(A,\mathcal{O}(X))\xrightarrow{\sim}\textrm{Esg}(X,\textrm{Spec}A)\\ из 2.1. Следовательно, это биекция.
**2.9. Определение:** Говорят, что геометрическое пространство X является //простым спектром//, если морфизм \psi_X:X\rightarrow\textrm{Spec}\mathcal{O}(X) из 2.2 --- изоморфизм. Говорят, что X является //спектральным пространством//, если X допускает открытое покрытие простыми спектрами.
Когда X=\textrm{Spec}A, то из 2.1, 2.2 и 2.6 следует, что \psi_X=(\textrm{Spec}A)^{-1}, поэтому X --- простой спектр. Поскольку главные открытые множества \textrm{Spec}A являются простыми спектрами (2.3) и образуют базу из открытых множеств в \textrm{Spec}A, то видно, что любое спектральное пространство допускает открытую базу из простых спектров. Отсюда следует, что //любое открытое подпространство спектрального пространства является спектральным пространством//.
**2.10.** Напомним, что топологическое пространство X называется //неприводимым//, если оно не пусто и любое конечное пересечение открытых непустых множеств в X не пусто. Например, для произвольного топологического пространства X и любой точки x\in X ее замыкание \overline{\{x\}} в X является замкнутым неприводимым подмножеством в X .
**Предложение:** Если X --- спектральное пространство, то отображение x\mapsto\overline{\{x\}} является биекцией из X на множество неприводимых замкнутых подмножеств в X .
Действительно, когда X --- простой спектр, предложение следует из Комм. алг., II, §4, nº3, сл.2 в пр.14. Общий случай непосредственно следует из этого частного случая.
Если F --- неприводимое замкнутое //подмножество// в X и x --- единственная точка такая, что F=\overline{\{x\}}, то будем говорить, что x --- //порождающая точка// для F .
**2.11. Пример:** Для любого семейства (S_i)_{i\in E} экземпляров \textrm{Spec}\mathbb{Z} обозначим через E'_{\mathbb{Z}} прямую сумму \coprod_{i\in E}S_i. Любому геометрическому пространству X и любому морфизму\\ f:X\rightarrow\underset{i\in E}{\coprod}S_i\\ соответствует отображение g:X\rightarrow E такое, что g(x)=i, если x\in X и f(x)\in S_i. Отображение g локально постоянно, то есть непрерывно, когда мы наделяем E дискретной топологией. Если X_i=g^{-1}(i), то канонический изоморфизм \textrm{Esg}(X_i,\textrm{Spec}\mathbb{Z})\xrightarrow{\sim}\textrm{An}
(\mathbb{Z},\mathcal{O}(X_i)) (2.1) показывает, что индуцированный морфизм f_i:X_i\rightarrow S_i определяется заданием i и X_i; поэтому отображение f\mapsto g является биекцией \textrm{Esg}(X,E'_{\mathbb{Z}})\xrightarrow{\sim}\textrm{Top}(X,E).
Будем говорить, что спектральное пространство X //постоянно//, если существует множество E и изоморфизм X\xrightarrow{\sim}E'_{\mathbb{Z}}.
**2.12. Пример:** Пусть k --- поле и X --- //булево пространство//, то есть топологическое пространство, наделенное открытой базой, состоящей из открытых компактов. Пусть в \mathcal{O}_X каждому открытому множеству U из X соответствует кольцо локально постоянных функций на U со значениями в k . Тогда для любого x\in X имеем: \mathcal{O}_x=k; для каждого открытого компакта U в X морфизм \Psi_U:U\rightarrow\textrm{Spec}\mathcal{O}(U) из 2.2 обратим (Stone). Как следствие, X'_k=(X,\mathcal{O}_X) является спектральным пространством.
**2.13. Замечание:** Теорема и замечания к 2.1 означают, что //функтор// \textrm{Spec}:\textrm{An}^{\circ}\rightarrow\textrm{Esg} является //присоединенным справа// к \mathcal{O}^{\circ}:\textrm{Esg}\rightarrow\textrm{An}^{\circ}. Поэтому он преобразует индуктивные пределы колец в проективные пределы геометрических пространств. В частности, для любой диаграммы колец вида B\xleftarrow{\varphi}A\xrightarrow{\psi}C, //канонический морфизм// \textrm{Spec}B\otimes_AC\rightarrow\textrm{Spec}B\times_{\textrm{Spec}A}
\textrm{Spec}C компонент \textrm{Spec}(in_1) и \textrm{Spec}(in_2) //обратим//.
==== Z-функторы ====
**3.1. Определение:** \mathbb{Z}-функтором называется любой функтор из \textrm{M} в \textrm{E}. Категория \mathbb{Z}-функторов обозначается через \textrm{ME}.
**3.2. Соглашения в обозначениях:** Если \varphi:R\rightarrow S --- стрелка из \textrm{M}, если \mathfrak{X}\in\textrm{ME} и x\in\mathfrak{X}(R), то мы обозначаем через \varphi(x), x_S или даже просто через x образ x при отображении \mathfrak{X}(\varphi):\mathfrak{X}(R)\rightarrow\mathfrak{X}(S).
{{tag>"геометрическое пространство" "категория" "функтор"}}