Определитель матрицы

проверено

Определитель

Пусть $A$ — квадратная матрица порядка $n$ с коэффициентами из кольца $R$ , $A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{pmatrix}$ .

Определение 1. Определителем¹⁾ $\textrm{det}~A$ матрицы $A$ называется алгебраическая сумма всевозможных произведений коэффициентов $a_{ij}$ , взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Иначе говоря,

$\textrm{det}A=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}=\underset{\sigma\in S_n}{\sum}\varepsilon(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\ldots a_{n\sigma(n)}$ ,

где суммирование ведется по всем подстановкам порядка $n$ , $\varepsilon(\sigma)$ — знак подстановки $\sigma$ .

Замечание. Часто определитель матрицы определяют рекурсивно, используя разложение по первой строке (частный случай теоремы Лапласа).

Пример 1. Определитель матрицы порядка 2: $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}$ равен $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ .

Пример 2. Определитель матрицы порядка 3 вычисляется по формуле

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{13}a_{32}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{32}a_{23}a_{11}$ .

При вычислении определителей третьего порядка полезно помнить так называемое «правило треугольника»: произведение элементов, соединенных линиями, на первой диаграмме берется со знаком «+» произведение элементов, соединенных линиями, на второй диаграмме берется со знаком «-»

Свойства определителя

Предложение 1. Определитель квадратной матрицы $A$ и определитель транспонированной к ней матрицы $A^t$ совпадают: $\textrm{det}A=\textrm{det}A^t$ .

Предолжение 2. Если в определителе матрицы $A$ поменять местами любые две строки, то он изменит знак на противоположный.

Предложение 3. Справедливы следующие свойства:

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ \lambda a_{i1} & \lambda a_{i2} & \ldots & \lambda a_{in}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}=\lambda\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{in}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$ ,
$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a'_{i1}+a''_{i1} & a'_{i2}+a''_{i2} & \ldots & a'_{in}+a''_{in}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a'_{i1} & a'_{i2} & \ldots & a'_{in}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a''_{i1} & a''_{i2} & \ldots & a''_{in}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$ .

Предложение 4. Определитель с нулевой строкой равен нулю.

Предложение 5. Если в квадратной матрице $A$ две строки совпадают, то $\textrm{det}A=0$ .

Предложение 6. Определитель не меняется, если к некоторой его строке прибавить другую строку, умноженную на ненулевой скаляр.

Предложение 7. Пусть $A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn}\end{pmatrix}$ — верхнетреугольная матрица порядка $n$ , тогда $\textrm{det}A=a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}$ .