Полное метрическое пространство

проверено

Фундаментальная последовательность

Пусть $(X,\rho)$ — метрическое пространство.

Определение 1. Фундаментальной последовательностью¹⁾, или последовательностью Коши²⁾ называется такая последовательность $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ элементов из $X$ , что для заданного действительного числа $\varepsilon>0$ существует $n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}$ , что для всех $n,m>n_{\varepsilon}$ выполнено неравенство: $\rho(x_n,x_m)<\varepsilon$ .

Полное метрическое пространство

Определение 2. Метрическое пространство $(X,\rho)$ называется полным³⁾, если любая фундаментальная последовательность из $X$ сходится.

Пример 1. Метрическое пространство $X=\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}^1$ не является полным, так как в нем существует последовательность $\{(1+\frac{1}{n})^n\}$ , сходящаяся к иррациональному числу $e$ .