Открытое покрытие

Определение

Определение 1. Семейство подмножеств $\mathcal{A}=\{U_\alpha\subseteq X\vert\alpha\in I\}$ называется покрытием множества¹⁾ $X$ , если $X=\underset{\alpha\in I}{\bigcup}U_\alpha$ . Пусть $Y\subset X$ — подмножество, тогда $\mathcal{A}$ — покрытие $Y$ , если $\underset{\alpha\in I}{\bigcup}U_\alpha\supseteq Y$ .

Определение 2. Если $X$ является топологическим пространством с топологией $\tau$ и если $\mathcal{A}$ — покрытие пространства $(X,\tau)$ открытыми множествами, то говорят, что $\mathcal{A}$ — открытое покрытие²⁾.

Пример 1. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство. Любая база топологии $\tau$ является открытым покрытием пространства $X$ .

Определение 3. Если $X$ является топологическим пространством с топологией $\tau$ и если $\mathcal{A}$ — покрытие пространства $(X,\tau)$ замкнутыми множествами, то говорят, что $\mathcal{A}$ — замкнутое покрытие³⁾.

Определение 4. Говорят, что покрытие $\mathcal{A}$ топологического пространства $(X,\tau)$ является конечным (счетным), если в нем конечное (счетное) число элементов.

Определение 5. Говорят, что покрытие $\mathcal{A}$ топологического пространства $(X,\tau)$ является фундаментальным, если для любого топологического пространства $(Y,\omega)$ и любого отображения $f:X\rightarrow Y$ из непрерывности отображений $f_{\vert A}:U_\alpha\rightarrow Y$ для всех $U_\alpha\in\mathcal{A}$ следует непрерывность $f$ .

Теорема 1. Любое открытое покрытие является фундаментальным.

Теорема 2. Любое конечное замкнутое покрытие является фундаментальным.

Литература

Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.
Рохлин В.А., Фукс Д.Б. «Начальный курс топологии. Геометрические главы», Наука, 1977.
Телеман К. «Элементы топологии и дифференцируемые многообразия», Мир, 1967.

топология, замкнутое покрытие, открытое покрытие, покрытие множества, топологическое пространство, фундаментальное покрытие

¹⁾

covering of set, set cover

²⁾

open cover

³⁾

closed cover

glossary/topology/cover.txt · Последние изменения: 04.04.2014 17:44:27 — Ладилова Анна

Наверх