Содержание

Локально тривиальное расслоение

Локально тривиальное расслоение

Определение

Определение 1. Локально тривиальным расслоением¹⁾ называется четверка $(E,p,B,F)$ , состоящая из топологических пространств $E$ , $F$ , $B$ и непрерывного отображения $p\colon E\rightarrow B$ , если выполнено следующее условие:

для каждой точки $b\in B$ найдутся ее окрестность $U\subset B$ и гомеоморфизм $\psi_U\colon U\times F\rightarrow p^{-1}(U)$ такие, что коммутативна диаграмма

$\begin{diagram}\node{U\times F}\arrow[2]{e,t}{\psi_U}\arrow{se,b}{\textrm{pr}_1}\node[2]{p^{-1}(U)}\arrow{sw,b}{p}\\\node[2]{U}\end{diagram}$ ,

где отображение $\textrm{pr}_1\colon U\times F\rightarrow U$ — проекция на первый сомножитель.

Для локально тривиальных расслоений сохраняются все обозначения, введенные для расслоений, то есть $E$ — тотальное пространство расслоения, $B$ — база расслоения, $p\colon E\rightarrow B$ — проекция, $p^{-1}(b)$ — слой над точкой $b\in B$ .

Предложение 1. Слой над точкой локально тривиального расслоения гомеоморфен $F$ .

Пример 1. Пусть $E$ — лист Мебиуса, $B=S^1$ — окружность, $F=(0;1)$ — интервал прямой, $p$ — проекция точки на среднюю линию листа Мебиуса. Выберем окрестности $U=S^1\backslash\{0\}$ и $V=S^1\backslash\{1/2\}$ . Тогда $U\times F$ и $V\times F$ — квадраты. С другой стороны $p^{-1}(U)$ — лист Мебиуса, разрезанный по прямой $\{(0;y)|y\in(0;1)\}$ , $p^{-1}(V)=E\backslash\{(1/2;y)|y\in(0;1)\}$ , то есть тоже квадраты. Гомеоморфизмы $\Psi_U$ и $\Psi_V$ определяются очевидным образом.²⁾

Тривиальное расслоение

Определение 1. Тривиальным расслоением³⁾ называется четверка $(E,F,B,p)$ , где $E$ , $F$ , $B$ — топологические пространства, $p\colon E\rightarrow B$ — непрерывное сюръективное отображение, если существует гомеоморфизм $\psi\colon p^{-1}(B)\rightarrow B\times F$ такие, что коммутативна диаграмма

$\begin{diagram}\node{p^{-1}(B)}\arrow[2]{e,t}{\psi}\arrow{se,b}{p}\node[2]{B\times F}\arrow{sw,b}{\textrm{pr}_1}\\\node[2]{B}\end{diagram}$ ,

где отображение $\textrm{pr}_1\colon B\times F\rightarrow B$ — проекция на первый сомножитель.

См. также

Литература

Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.
Мищенко А.С. «Векторные расслоения и их применения». Наука, 1984.
Рохлин В.А., Фукс Д.Б. «Начальный курс топологии. Геометрические главы», Наука, 1977.

топология, локально тривиальное расслоение, тривиальное расслоение

¹⁾ , ³⁾

fiber bundle

²⁾

Картинка приложится

glossary/topology/bundle/fiber.txt · Последние изменения: 09.02.2012 10:06:54 — Ладилова Анна

Наверх