Отражения

Пусть — векторное пространство над полем или .

Определение 1. Эндоморфизм векторного пространства называется отражением¹⁾, если

1. множество элементов пространства , инвариантных относительно , является гиперплоскостью в ,
2. ²⁾.

При этом называется гиперплоскостью отражения³⁾ .

Предложение 1. Отражение в однозначно определяется заданием гиперплоскости и вектора , не лежащим в . При этом данное отражение обозначается через .

Предложение 2. Пусть — элемент двойственного пространства такой, что

1. и
2. ,

тогда для всех .

Частным случаем отражений являются ортогональные отражения в евклидовом пространстве со скалярным произведением .

Предложение 3. Каждый ненулевой вектор определяет отражение с гиперплоскостью отражения по следующей формуле:

Введем обозначение , тогда

• Системы корней

• Бурбаки Н. «Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней», Мир, 1972.
• Серр Ж.-П. «Алгебры Ли и группы Ли», Мир, 1969.
• Хамфрис Дж. «Введение в теорию алгебр Ли и их представлений», МЦНМО, 2003.