Содержание
Базис и размерность векторного пространства
проверено. пример 1 весьма забавен. а вообще коряво с нулевым пространством и его базисом. пример 4 - смущает декартово произведение
Определение
Определение 1. Базисом1) ненулевого векторного пространства над полем называется система векторов, которая
Теорема 1. Ненулевое векторное пространство всегда обладает базисом. Иными словами, является свободным -модулем.
Определение 2. Размерностью2) ненулевого векторного пространства называется мощность его базиса. Для нулевого векторного пространства полагают, что его размерность равна нулю. Размерность векторного пространства над полем обозначается через .
Определение 3. Говорят, что пространство конечномерно3), если или базис состоит из конечного числа векторов. В противном случае говорят, что бесконечномерно4).
Пример 1. Поле действительных чисел является бесконечномерным векторным пространством над полем рациональных чисел .
Пример 2. Поле комплексных чисел является двумерным вещественным векторным пространством5).
Пример 3. Произвольное поле является одномерным векторным пространством над собой с базисом .
Предложение 1. Для конечномерного векторного пространства набор векторов является базисом, если каждый вектор единственным образом представляется в виде .
Определение 3. Пусть — базис , и . Скаляры называются координатами6) вектора в данном базисе.
Пример 4. Пусть — поле, и — -мерное координатное пространство. Векторы составляют базис .
Предложение 2. В конечномерном векторном пространстве число векторов базиса не зависит от выбора базиса.
Переход от одного базиса к другому
Пусть — -мерное векторное пространство над полем с некоторыми базисами и .
Векторы одного базиса можно выразить через векторы другого:
.
Определение 4. Матрица, определенная коэффициентами вышеприведенного разложения
,
называется матрицей перехода7) от базиса к базису .
Замечание 1. Координаты вектора относительно базиса образуют -й столбец матрицы .
Предложение 3. Пусть вектор имеет координаты в базисе и координаты в базисе . При переходе от базиса к базису координаты вектора в новом базисе выражаются через координаты в старом базисе по формуле:
,
где — матрица, обратная к .