Содержание

Базис и размерность векторного пространства

Базис и размерность векторного пространства

проверено. пример 1 весьма забавен. а вообще коряво с нулевым пространством и его базисом. пример 4 - смущает декартово произведение

Определение

Определение 1. Базисом¹⁾ ненулевого векторного пространства $V$ над полем $F$ называется система векторов, которая

Теорема 1. Ненулевое векторное пространство $V$ всегда обладает базисом. Иными словами, $V$ является свободным $F$ -модулем.

Определение 2. Размерностью²⁾ ненулевого векторного пространства $V\neq 0$ называется мощность его базиса. Для нулевого векторного пространства $V=0$ полагают, что его размерность равна нулю. Размерность векторного пространства $V$ над полем $F$ обозначается через $\dim_FV$ .

Определение 3. Говорят, что пространство $V$ конечномерно³⁾, если $V=0$ или базис $V$ состоит из конечного числа векторов. В противном случае говорят, что бесконечномерно⁴⁾.

Пример 1. Поле действительных чисел $\mathbb{R}$ является бесконечномерным векторным пространством над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$ .

Пример 2. Поле комплексных чисел $\mathbb{C}$ является двумерным вещественным векторным пространством⁵⁾.

Пример 3. Произвольное поле $F$ является одномерным векторным пространством над собой с базисом $\{1\}$ .

Предложение 1. Для конечномерного векторного пространства набор векторов $\{e_1,\ldots,e_n\}$ является базисом, если каждый вектор $v\in V$ единственным образом представляется в виде $v=a_1e_1+\ldots+a_ne_n,\,a_i\in F$ .

Определение 3. Пусть $\{e_1,\ldots,e_n\}$ — базис $V$ , и $v=a_1e_1+\ldots+a_ne_n$ . Скаляры $a_1,\ldots,a_n\in F$ называются координатами⁶⁾ вектора $v$ в данном базисе.

Пример 4. Пусть $F$ — поле, и $V=F^n$ — $n$ -мерное координатное пространство. Векторы $e_i=(0,\ldots,1,\ldots,0)$ составляют базис $V$ .

Предложение 2. В конечномерном векторном пространстве число векторов базиса не зависит от выбора базиса.

Переход от одного базиса к другому

Пусть $V$ — $n$ -мерное векторное пространство над полем $F$ с некоторыми базисами $\{e_1,\ldots,e_n\}$ и $\{e'_1,\ldots,e'_n\}$ .

Векторы одного базиса можно выразить через векторы другого:

$\begin{array}\,e'_1=a_{11}e_1+a_{21}e_2+\ldots+a_{n1}e_n,\\ e'_2=a_{12}e_1+a_{22}e_2+\ldots+a_{n2}e_n,\\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\e'_n=a_{1n}e_1+a_{2n}e_2+\ldots+a_{nn}e_n.\end{array}$ .

Определение 4. Матрица, определенная коэффициентами вышеприведенного разложения

$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\\\end{pmatrix}$ ,

называется матрицей перехода⁷⁾ от базиса $\{e_1,\ldots,e_n\}$ к базису $\{e'_1,\ldots,e'_n\}$ .

Замечание 1. Координаты вектора $e'_j$ относительно базиса $\{e_1,\ldots,e_n\}$ образуют $j$ -й столбец матрицы $A$ .

Предложение 3. Пусть вектор $v$ имеет координаты $v_1,\ldots,v_n$ в базисе $\{e_1,\ldots,e_n\}$ и координаты $v'_1,\ldots,v'_n$ в базисе $\{e'_1,\ldots,e'_n\}$ . При переходе от базиса $\{e_1,\ldots,e_n\}$ к базису $\{e'_1,\ldots,e'_n\}$ координаты вектора $v$ в новом базисе выражаются через координаты в старом базисе по формуле:

$\begin{pmatrix}v'_1\\v'_2\\\ldots\\v'_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a'_{11} & a'_{12} & \ldots & a'_{1n}\\a'_{21} & a'_{22} & \ldots & a'_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a'_{n1} & a'_{n2} & \ldots & a'_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\\ldots\\v_n\end{pmatrix}$ ,

где $A'=\begin{pmatrix}a'_{11} & a'_{12} & \ldots & a'_{1n}\\a'_{21} & a'_{22} & \ldots & a'_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a'_{n1} & a'_{n2} & \ldots & a'_{nn}\end{pmatrix}$ — матрица, обратная к $A$ .

См. также

Литература

линейная алгебра, базис векторного пространства, вектор, векторное пространство, линейное пространство, размерность векторного пространства

¹⁾

basis

²⁾

dimension

³⁾

finite dimension linear space

⁴⁾

infinite dimension linear space

⁵⁾

то есть с вещественными коэффициентами

⁶⁾

coordinate

⁷⁾

transformation matrix

glossary/space/linear/basis.txt · Последние изменения: 15.02.2014 12:13:19 — Ладилова Анна

Наверх