Идемпотенты в ассоциативном кольце [Algebraical.info]

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
====== Идемпотенты в ассоциативном кольце ======
===== Описание =====
__Определение 1.__ Элемент <latex>e\neq 0</latex> [[:glossary:ring|кольца]] <latex>R</latex> называется **идемпотентом**((idempotent element)), если <latex>e^2=e</latex>.

__Предложение 1.__ Пусть <latex>R</latex> --- ассоциативное кольцо, не имеющее ненулевых [[:glossary:ring:ideal:nilpotent|нильпотентных идеалов]], и <latex>\rho\neq 0</latex> --- минимальный [[:glossary:ring:ideal#левый_идеал|левый идеал]] в <latex>R</latex>. Тогда <latex>\rho=Re</latex> для некоторого идемпотента <latex>e\in R</latex>.
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
Заметим, что <latex>\rho^2\neq0</latex>, иначе <latex>\rho</latex> нильпотентен, и содержится в ненулевом нильпотентном идеале((см. [[:glossary:ring:ideal:nilpotent|предложение 2]])). Тогда существует <latex>x\in\rho</latex> такой, что <latex>\rho x\neq0</latex>. Ясно, что <latex>\rho x</latex> --- левый идеал кольца, поэтому в силу минимальности <latex>\rho</latex> имеем <latex>\rho=\rho x</latex>. Тогда найдется элемент <latex>e\in\rho</latex>, что <latex>x=ex</latex>. Как следствие, <latex>ex=e^2x</latex>, или <latex>(e-e^2)x=0</latex>.

Пусть <latex>\rho_0=\{y\in\rho|yx=0\}</latex>. Ясно, что <latex>\rho_0</latex> --- левый идеал в <latex>R</latex>, причем <latex>\rho\neq\rho_0</latex> (иначе <latex>\rho x=0</latex>). Из минимальности <latex>\rho</latex> следует, что <latex>\rho_0=0</latex>. Но тогда равенство <latex>(e-e^2)x=0</latex> означает, что <latex>e-e^2=0</latex>, то есть <latex>e=e^2</latex>.

Множество <latex>Re</latex> --- левый идеал в <latex>R</latex>. Так как <latex>e\in\rho</latex>, то <latex>Re\subseteq\rho</latex>. Так как <latex>0\neq e=e^2\in Re</latex>, то <latex>Re\neq 0</latex>. Но тогда <latex>Re=\rho</latex>.
 <latex>\blacksquare</latex>
</hidden>

__Предложение 2.__ Пусть <latex> R </latex> --- ассоциативное кольцо, не имеющее ненулевых нильпотентных идеалов, и <latex>\rho\neq 0</latex> --- минимальный [[:glossary:ring:ideal#правый_идеал|правый идеал]] в <latex> R </latex>. Тогда <latex>\rho=eR</latex> для некоторого идемпотента <latex>e\in R</latex>.

__Теорема 1.__ Если ассоциативное кольцо <latex>R</latex> [[:glossary:ring:artinian#артиново_слева_кольцо|артиново слева]] и <latex>\rho\neq 0</latex> --- не нильпотентный левый идеал в <latex>R</latex>, то <latex>\rho</latex> содержит ненулевой идемпотент.
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
1. __Лемма.__ Пусть <latex>R</latex> --- ассоциативное кольцо и для некоторого <latex>a\in R</latex> элемент <latex>a^2-a</latex> нильпотентен. Тогда либо элемент <latex>a</latex> нильпотентен, либо существует такой многочлен с целыми коэффициентами <latex>q(x)\in\mathbb{Z}[x]</latex>, что элемент <latex>e=aq(a)</latex> является идемпотентом.

__Доказательство.__ Если <latex>a^2-a</latex> нильпотентен, то <latex>(a^2-a)^m=0</latex>. Раскроем скобки и перенесем все, кроме <latex>a^m</latex> в правую часть равенства, получим выражение <latex>a^m=a^{m+1}p(a)</latex>, где <latex>p</latex> --- многочлен с целыми коэффициентами. Тогда <WRAP centeralign><latex>a^m=a^{m+1}p(a)=a^map(a)=(a^{m+1}p(a))ap(a)=\ldots=a^{2m}p(a)^m</latex>.
</WRAP> Если <latex>a</latex> не нильпотент, то <WRAP centeralign><latex>a^mp(a)\neq 0</latex> и <latex>(a^mp(a)^m)^2=a^{2m}p(a)^{2m}=(a^{2m}p{a}^m)p{a}^m=a^mp(a)^m</latex>.</WRAP> То есть <latex>e=a^mp(a)^m</latex> --- идемпотент. Положим <latex>q(a)=a^{m-1}p(a)^m</latex>, тогда <latex>e=aq(a)</latex>.

2. Так как <latex>\rho</latex> --- не нильпотентный, то <latex>\rho\not\subseteq J(R)</latex>((см. [[:glossary:ring:artinian|теорему 1]])). Тогда при канонической проекции <latex>\pi\colon R\rightarrow R/J(R)</latex> образ <latex>\pi(\rho)</latex> --- ненулевой левый идеал <latex>R/J(R)</latex>.

Так как <latex>R</latex> артиново слева, то <latex>R/J(R)</latex> артиново слева((см. [[:glossary:ring:artinian|предложение 3]])), поэтому <latex>\pi(\rho)</latex> содержит ненулевой минимальный левый идеал <latex>\overline{\rho}_0</latex>.

Заметим, что <latex>R/J(R)</latex> не содержит ненулевых нильпотентных идеалов, так как нильпотентный идеал состоит из квазирегулярных элементов ((см. [[:glossary:ring:ideal:nilpotent|предложение 1]])), а потому содержится в радикале Джекобсона <latex>J(R/J(R))=0</latex>((см. [[:glossary:ring:radical:jacobson|следствие 1]])). Таким образом, мы находимся в условиях предположения предложения 1, и <latex>\overline{\rho}_0=R/J(R)\overline{e}</latex> для некоторого идемпотента <latex>\overline{e}\in R/J(R)</latex>.

Пусть <latex>a\in\rho</latex> --- элемент из прообраза <latex>\overline{e}</latex>, тогда <latex>\pi(a^2-a)=\overline{e}^2-\overline{e}=0</latex>, то есть <latex>a^2-a\in\textrm{ker}~\pi=J(R)</latex>, поэтому из нильпотентности <latex>J(R)</latex> следует, что <latex>a^2-a</latex> --- нильпотентный элемент.

Если <latex>a</latex> нильпотентен, <latex>a^m=0</latex>, то <latex>0=\pi(a)^m=\overline{e}^m=\overline{e}</latex>, что невозможно. Тогда из леммы 1 следует, что существует идемпотент <latex>e=aq(a)\in\rho</latex>.
 <latex>\blacksquare</latex>
</hidden>

__Теорема 2.__ Если ассоциативное кольцо <latex>R</latex> [[:glossary:ring:artinian#артиново_справа_кольцо|артиново справа]] и <latex>\rho\neq 0</latex> --- не нильпотентный правый идеал в <latex>R</latex>, то <latex>\rho</latex> содержит ненулевой идемпотент.

__Теорема 3.__ Пусть <latex>R</latex> --- ассоциативное кольцо и <latex>e</latex> --- идемпотент в <latex>R</latex>. Тогда <latex>J(eRe)=eJ(R)e</latex>.
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
Покажем, что если <latex>M</latex> --- неприводимый левый <latex>R</latex>-модуль, то либо <latex>eM=0</latex>, либо <latex>eM</latex> неприводимый левый <latex>eRe</latex>-модуль. Пусть <latex>eM\neq0</latex>, тогда для любого ненулевого <latex>em\in eM</latex> имеем <latex>eRe(em)=eReem=eRem=e(R(em))=eM</latex>.

Из определения радикала Джекобсона следует, что если <latex>eM\neq0</latex>, то <latex>J(eRe)eM=0</latex>, но <latex>J(eRe)e=eJ(eRe)</latex>, а значит, <latex>J(eRe)M=0</latex>. Если <latex>eM=0</latex>, то тем более <latex>J(eRe)M=0</latex>. Из соотношения <latex>J(eRe)M=0</latex> следует, что <latex>J(eRe)\subseteq J(R)</latex>, поэтому <latex>J(eRe)=eJ(eRe)e\subseteq eJ(R)e</latex>.

Обратно, пусть <latex>a\in eJ(R)e</latex>, тогда <latex>a\in J(R)</latex>, то есть существует левый квазиобратный элемент <latex>a'</latex>: <latex>a+a'+a'a=0</latex>. Умножим последнее соотношение слева и справа на <latex>e</latex>: <latex>eae+ea'e+ea'ae=0</latex>. Так как <latex>a\in eJ(R)e</latex>, то <latex>eae=a</latex> и <latex>ea'ae=ea'eae=ea'ea</latex>. Поэтому <latex>a+ea'e+ea'ea=0</latex>, то есть <latex>ea'e</latex> также левый квазиобратный для <latex>a</latex>. Следовательно, <latex>a'=ea'e</latex>. Таким образом, <latex>eJ(R)e</latex> состоит из лево-квазирегулярных элементов кольца <latex>eRe</latex>, откуда((см. [[:glossary:ring:radical:jacobson|теорему 2]])) <latex>eJ(R)e\subseteq J(eRe)</latex>.

В результате мы доказали, что <latex>J(eRe)=eJ(R)e</latex>.
 <latex>\blacksquare</latex>
</hidden>

__Теорема 4.__ Пусть <latex> R </latex> --- ассоциативное кольцо, не имеющее ненулевых нильпотентных идеалов, и <latex> e </latex> --- ненулевой идемпотент из <latex> R </latex>. Тогда <latex>Re</latex> --- минимальный левый идеал в <latex> R </latex> в том и только в том случае, когда <latex>eRe</latex> --- [[:glossary:ring:division|тело]].
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
Пусть <latex>\rho=Re</latex> --- минимальный левый идеал в <latex>R</latex>, и <latex>eae\neq0</latex>, <latex>eae\in eRe</latex>. Тогда <latex>Reae\neq0</latex> --- левый идеал, содержащийся в <latex>Re</latex>. В силу минимальности имеем <latex>Reae=Re</latex>, то есть <latex>ee=xeae</latex> для некоторого <latex>x\in R</latex>. Тогда <latex>e=ee=eee=exeae=exeeae</latex>, иначе говоря, <latex>exe=(eae)^{-1}</latex>.

Обратно, пусть <latex>eRe</latex> тело. Покажем, что <latex>\rho=Re</latex> --- минимальный левый идеал. Предположим, что <latex>\rho_0\subseteq\rho</latex> --- ненулевой левый идеал. Тогда <latex>e\rho_0\neq0</latex>, иначе <latex>\rho_0^2\subseteq \rho\rho_0=Re\rho_0=0</latex>, что невозможно по предположению. Тогда для произвольного ненулевого элемента <latex>ea\in\rho_0\subseteq Re</latex>, имеем <latex>ea=eae\neq0</latex>, а значит, в <latex>eRe</latex> для него существует обратный <latex>exe</latex>, <latex>exeeae=e</latex>. Следовательно, <latex>xea=e</latex>. Тогда <latex>\rho=Re=Rxea\subseteq Ra\subseteq R\rho_0=\rho_0</latex>. Таким образом, <latex>\rho_0=\rho</latex>, то есть <latex>\rho=Re</latex> --- минимальный левый идеал.
 <latex>\blacksquare</latex>
</hidden>

__Теорема 5.__ Пусть <latex> R </latex> --- ассоциативное кольцо, не имеющее ненулевых нильпотентных идеалов, и <latex> e </latex> --- ненулевой идемпотент из <latex> R </latex>. Тогда <latex>eR</latex> --- минимальный правый идеал в <latex> R </latex> в том и только в том случае, когда <latex>eRe</latex> --- тело.

__Следствие 1.__ Если <latex> R </latex> не имеет ненулевых нильпотентных идеалов и <latex> e </latex> --- идемпотент в <latex> R </latex>, то <latex>Re</latex> --- минимальный левый идеал в <latex> R </latex> тогда и только тогда, когда <latex>eR</latex> --- минимальный правый идеал.
===== Примеры =====
===== Литература =====
  * Херстейн И. <<Некоммутативные кольца>>, Мир, 1972.

{{tag>"абстрактная алгебра" "ассоциативное кольцо" "кольцо" "идемпотент" "идеал" "левый идеал" "минимальный идеал" "правый идеал"}}
glossary/ring/element/idempotent.txt · Последние изменения: 30.10.2011 18:39:05 — Ладилова Анна
Наверх